Download Introduction to Quantum Mechanics and more Lecture notes Quantum Physics in PDF only on Docsity!

FISIKA KUANTUM

4 SKS

BAB 1

PENDAHULUAN

Mekanika

klasik

(Newton,

Lagrange,

Hamilton

dll)

sukses

menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis.

Cahaya

sebagai

gelombang

(Fresnel,

Maxwell,

Hertz)

sangat

berhasil menjelaskan sifat-sifat cahaya.

Pada akhir abad 19, teori-teori klasik di atas tidak mampu

memberikan

penjelasan yang memuaskan bagi sejumlah

fenomena “berskala-kecil” seperti sifat radiasi dan interaksiradiasi-materi.

Akibatnya, dasar-dasar fisika yang ada secara radikal diteliti-ulang

lagi, dan dalam perempat pertama abad 20 muncul berbagaipengembangan teori seperti relativitas dan mekanika kuantum.

Menurut teori medan listrik-magnet, gelombang elektromagnetdiemisikan oleh osilator muatan-muatan listrik.Bilamana osilator-osilator dalam kesetimbangan dengan radiasi dalambenda-hitam, maka rapat energi radiasi per satuan volum adalah:

u(

energi rata-rata osilator dengan frekuensi

Hukum energi ekipartisi: energi rata-rata itu adalah

u(

ν

)=k

B

T

di mana

k

B

=1,3806 x 10

J/K adalah konstanta Boltzmann. Dengan c=

(^

3

2

ν

πν

ν

u

c

E

T

k

E

B 4

Inilah rumusan Raleigh-Jeans, yang ternyata hanya berlaku pada panjanggelombang yang besar.

Max Planck (1900):Suatu benda-hitam adalah kumpulan osilator dalam kesetimbangan denganmedan radiasi.Suatu osilator dengan frekuensi

hanya bisa memiliki energi:

....., (^2) , (^1) , 0

;^

=

=

n

nh

n

h

=6,624 x 10

Js disebut konstanta Planck, dan

h

ν

disebut kuantum

energi.Energi rata-rata per osilator dengan frekuensi

adalah:

∑ ∑

=

0 0

exp(

exp(

n

B

n

n

B

n

n

T

k

ε

T k ε ε ν u

exp(

) (^

T

k ν h

ν h

ν u

B

Akhirnya diperoleh:

Inilah rumusan Planck yang sesuai kurvaradiasi benda hitam secara lengkap.

(^

/

3

2

T k h^

B

e

h

c

E

υ

ν

πν

ν

1.2 Efek Foto Listrik

Dalam pengamatan ternyata:(i)

untuk suatu jenis logam ada frekuensi cahaya minimal yang dapatmelepaskan elektron, dan

(ii) semakin tingi intensitas cahaya yang mengenai permukaan logam,

semakin banyak elektron yang dilepaskan.

hv

K

logam

1.3 Dualisme Gelombang-Partikel

Hasil-hasil eksperimen interferensi dan difraksi membuktikan bahwa teori tentangcahaya sebagai gelombang telah mantap pada penghujung abad 19, terlebih lagikarena keberhasilan teori elektromagnetik Maxwell.

h

W

ν^

W adalah fungsi kerja logam (=energi ikat elektron dipermukaan logam).

Einstein (1905) menolak teori tersebut berdasarkan fenomena efek foto-listrik dimanapermukaan logam melepaskan elektron jika disinari dengan cahaya berfrekuensiMenurut Einstein, dalam fenomena tersebut cahaya harus dipandang sebagaikuanta yang disebut foton, yakni partikel cahaya dengan energi kuantum

E=h

ν

.

Dalam teori relativitas khususnya (1905), hubungan energi dan momentum suatupartikel diungkapkan sebagai berikut:

2 2

2

2

c m

p

E c

o

⎛^ ⎜ ⎝

p

adalah momentum partikel, dan

m

o^

adalah massa

diam partikel bersangkutan

Untuk foton, karena tidak mempunyai massa diam, sedangkan energinya

E=h

υ

,

maka momentum foton adalah

h λ

E c

p

Adanya momentum inilah yang mencirikan sifat partikel dari cahaya.

Louis de Broglie :Mengemukakan bahwa tidak hanya cahaya yang memiliki sifat “mendua”, tetapi jugapartikel.

. h^ p

=

λ

Panjang gelombang ini disebut panjang gelombang de Broglie.

Clinton Davisson dan Lester Germer (1927):Memperlihatkan efek difraksi dari berkas elektronketika melalui celah sempit sebagaimana cahaya.Andaikan a adalah lebar celah dan posisi sudutuntuk ‘gelap’ pertama adalah

θ

, maka berlaku

θ

berkaselektron

Suatu partikel dapat juga memiliki sifat gelombang. Menurut de Broglie suatu partikelyang memiliki momentum p jika dipandang sebagai gelombang, mempunyai panjanggelombang:

a sin

θ

λ

Kecepatan fasa:^ v

=f

λυ

( h/p

E/h

) =E/p=p/

m=

v

Momentum Aneh tapi tidak penting karena tak punya arti fisis.

p=mv

dan energi

E

p

m=½mv

2

Yang penting adalah kecepatan grup, yakni^ v

= g

d

ω

/ dk

, di mana

ω

πυ

dan

k

π

/^ λ

Dengan

E

p

m

v

g^

d

ω

/ dk

dE

/ dp

p

/ m

v

Kecepatan grup dari gelombang partikelsama dengan kecepatan partikel itusendiri.

x

Δ

x

BAB 2

DASAR-DASAR FISIKA KUANTUM

2.1 Persamaan Gelombang^ Tinjaulah getaran sebuah kawat halus yang diregang sepanjang sumbu-x dengankedua ujungnya dibuat tetap. Misalkan simpangan pada sembarang posisi dan waktuadalah

ψ

(x,t

).

Dalam teori gelombang simpangan itu memenuhi persamaan gelombang seperti:

2

2

2

2

2

t

t x

v

x

t x

v adalah kecepatan fasa

Misalkan

(^

t

x

t x

2 2 2 2 2 2

ω

φ

φ

ψ

ψ

dt

t

d t

dx

x

d x v

(^

2

2 2

t

t d

t

d

)

(

sin

) (

=

t A t 0 ) ( )

(^

(^22)

2 2

x

v

dx

x

d

x

D

x

C

x

π λ

π λ

ψ

cos

sin

,^

adalah frekuensi dan

δ

adalah konstanta; karena

v

adalah kecepatan

merambat maka panjang gelombang

v

Untuk konstanta C dan D diperlukan syarat batas, misalnya untuk fungsi di atas,pada

x

=0, dan

x

=

L

dengan

L

adalah panjang kawat. Andaikan, untuk

x

=0,

ψ

( 0)=

maka D=0,

⎞ ⎟ ⎠

⎛⎜ ⎝

=

x

C

x

π λ

ψ

2

sin

) (

Selanjutnya jika di

x=L,

ψ

(L)=C sin(

π

L/

λ

)=

maka

sin(

π

L/

λ

)=

, sehingga:

....., (^2) , 1

;

2

=

=

n n

L λ^

n disebut nomor modus normal.⎞^ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

=

x πn L

C

x

ψ

n^

sin

) (

maka: Akhirnya:

)

(

sin

sin

) , (^

δ t ω

x πn L

B

t x

ψ

n^

⎞⎟ ⎠

⎛⎜ ⎝

=

(^

2

2

2

t x ψ V E m x

t x ψ

h

E

h

Mengingat

π

h

(^2) /

= h

dan

Akhirnya diperoleh persamaan:

(^2

2

x

V

E

m

x

x

h

Bagian waktu

exp(-i

ω

t)

telah dihilangkan sementara karena tak mempunyai pengaruh,

Untuk tiga dimensi persamaan Schrödinger ini adalah:dan selanjutnya persamaan itu disebut persamaan Schrödinger yang tak bergantungwaktu bagi sebuah partikel dalam satu dimensi.

(^

2

2

z y x V E m z y x

ψ

ψ

h

V adalah energi potensial yang bentuknya harus diketahui sebelumnya, sedangkanfungsi gelombang

ψ

(x)

dan energi E dari partikel bersangkutan merupakan solusi

yang harus dicari dari persamaan tersebut.

Persamaan Schrodinger 1-dimensi

ˆ^

x

E

x

H

ψ

ψ

V

m

H

∇

−

2 2 2

ˆ^

h

Persamaan Schrödinger di atas dapat dituliskan sebagai berikutdengan

disebut hamiltonian partikel, yakni operator energitotal dari partikel.

Dalam bahasa matematik,

E

adalah harga eigen dari operator H dengan fungsi

eigen

ψ

(x). Persamaan (*) disebut persamaan harga eigen.

Turunan pertama terhadap waktu untuk fungsi gelombang

ψ(

x,t

)^

dalam hal.

14

adalah:

) , (

) , (^

t x

i

t

t x

−

∂ ∂

Karena

E=

ħ

ω

maka diperoleh

) , (

) , (^

t x

E

t

t x

i

=

∂ ∂ h

t

t x i t x H

ψ

ψ

h

Ini disebut persamaan Schrödinger yang bergantung waktu bagi sebuah partikel.

x

n L

C

x

π

ψ

sin

Contoh:

1

sin

) (

0

2

2

2

=

⎞⎟ ⎠

⎛⎜ ⎝

=

∫

∞ ∫∞−

dx x

n L

C

dx

x

L

sin

2 θ

=(1-cos

θ

)/2, maka hasil integral di atas adalah C

2 (L/2)=1 sehingga

L

C

/ 2

=

Jadi secara lengkap fungsi yang dinormalisasi adalah

x

n L

L

x

π

ψ

sin

Jika

(x)

adalah kombinasi linier dari sekumpulan fungsi-fungsi {

ϕ

(x)n

}, maka

penulisannya secara umum adalah seperti:

∑

n

n n^

x

c

x

ϕ

ψ

c

n^

adalah koefisien bagi fungsi

ϕ

(x) n

yang bisa ril atau

kompleks. dx x

x

c

m

m

) ( ) (

∞ ∫ ∞−

Jika

(x)n

adalah fungsi-fungsi yang dinormalisasi dan

ortogonal satu sama lain.

Jika fungsi-fungsi {

(x)n

} selain ternormalisasi juga ortogonal (disebut ortonormal)

satu sama lain maka berlaku

mn

n

m^

dx x

x

δ

ϕ

ϕ

=

∞ ∫ ∞−

) (

) ( *^

=1; m=n=0; lainnya

Jika

(x) fungsi yang dinormalisasi, maka

*^

∫

∑

∞ ∞−

dx x φ x φ c c n

m

n m

n m

1

*^

=

∑ n

n cn c

*^ (

∞ ∫∞−

dx x ψ x

ψ

Jadi,

Untuk memudahkan penulisan, fungsi-fungsi dituliskan dalam ket sepertidan konjugasinya dalam bra sepertiIntegral overlap dituliskan seperti:

n φ n φ l k l

k^

dx x

x

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

∞ ∫∞−

δ

disebut kronecker delta

,

*^

∑

mn

n m

n m

c

c