Download GEOMETRI Show that if G is the internal direct product of H1, H2, . . . , Hn and i 2 j wit and more Summaries Mathematics in PDF only on Docsity!
G. SEGI BANYAK ( Polygon )
Definisi 36. Segibanyak ( Polygon ) Suatu segibanyak adalah gabungan ruasgaris-ruasgaris yang hanya bertemu ujung- ujungnya sedemikian, sehingga: (1) paling banyak dua ruasgaris bertemu salah satu ujungnya; (2) setiap ruasgaris bertemu tepat dengan dua ruasgaris lainnya.
Berdasarkan Definisi 36., suatu segibanyak yang paling sederhana berupa gabungan tiga ruasgaris. Mengapa ?..........................................................................................................
Setiap ruasgaris yang membentuk suatu segibanyak dinamakan sisi segibanyak ( side ).
Ada banyak segibanyak yang terdapat pada suatu bidang. Nama/sebutan bagi suatu segibanyak didasarkan pada banyak sisinya, yaitu:
segitiga ( triangle ) – mempunyai tiga sisi; segiempat ( quadrilateral ) – mempunyai empat sisi; segilima ( pentagon ) – mempunyai lima sisi; segienam ( hexagon ) – mempunyai enam sisi; segitujuh ( heptagon ) – mempunyai tujuh sisi; segidelapan ( octagon ) – delapan sisi; segisembilan – mempunyai sembilan sisi; segisepuluh ( decagon ) – mempunyai sepuluh sisi; segiduabelas ( dodecagon ) – mempunyai dua belas sisi; segi-n – mempunyai n sisi.
Berdasarkan Definisi 36., jika ada gabungan n ruasgaris terbentuk sebagai suatu segibanyak, maka ada n titik pertemuan/persekutuan setiap dua ruasgaris. Titik pertemuan/persekutuan dua ruasgaris atau dua sisi segibanyak dinamakan vertice , di Indonesia diberi sebutan titik sudut segibanyak.
Nama atau sebutan suatu segibanyak memadukan banyaknya sisi dan nama titik sudutnya.
Perhatikan beberapa contoh segibanyak dalam Gambar 50.!
Gambar 50. Contoh Visualisasi Delapan Segibanyak
Pada Gambar 50. , secara urut dari atas ke kiri, berturut-turut contoh visualisasi dari segitiga-ARI, segiempat ABON, segilima-KASUR, segienam-BULEDA, segitujuh-GABRIEL, segidelapan- PRAMESTI, segisembilan-SEPTINALO, dan segisepuluh-BACIDEFUGO. Dalam hal ini nama titik disebut secara urut mengikuti urutan jalinan sisi-sisi dapat searah jarum jam atau berlawanan arah jarum jam. Dalam bentuk kalimat Geometri, masing-masing segibanyaka dalam Gambar 50., ditulis: segitiga-ARI = AR̅̅̅̅ ∪ RI̅ ∪ IA̅̅̅, segiempat-ABON = AB̅̅̅̅ ∪ BO̅̅̅̅ ∪ ON̅̅̅̅ ∪ NA̅̅̅̅, segilima-KASUR= KA̅̅̅̅ ∪ AS̅̅̅̅ ∪ SU̅̅̅̅ ∪ UR̅̅̅̅ ∪ RK̅̅̅̅, segienam-BULEDA = BU̅̅̅̅ ∪ UL̅̅̅̅ ∪ LE̅̅̅̅ ∪ ED̅̅̅̅ ∪ DA̅̅̅̅ ∪ AB̅̅̅̅, segitujuh-GABRIEL = GA̅̅̅̅ ∪ AB̅̅̅̅ ∪ BR̅̅̅̅ ∪ RI̅ ∪ IE̅ ∪ EL̅̅̅̅ ∪ LG̅̅̅̅,. segidelapan-PRAMESTI = PR̅̅̅̅ ∪ RA̅̅̅̅ ∪ AM̅̅̅̅̅ ∪ ME̅̅̅̅ ∪ ES̅̅̅ ∪ ST̅̅̅ ∪ TI, Segiembilan-SEPTINALO = SE̅̅̅ ∪ EP̅̅̅̅ ∪ PT̅̅̅̅ ∪ TI̅ ∪ IN̅̅̅ ∪ NA̅̅̅̅ ∪ AL ∪ LO ∪ OS, Segisepuluh-BACIDEFUGO = BA̅̅̅̅ ∪ AC̅̅̅̅ ∪ CI̅ ∪ ID̅̅̅ ∪ DE̅̅̅̅ ∪ EF̅̅̅̅ ∪ FU ∪ UG ∪ GO ∪ OB,
Dalam suatu segibanyak: jika dua sisi tidak bertemu ujung-ujungnya, maka kedua sisi tersebut
dikatakan sebagai dua sisi yang saling berhadapan. Misalnya: pada segiempat-ABON, sisi AB dan
sisi ON merupakan dua sisi yang saling berhadapan, sisi AN dan sisi BO merupakan dua sisi yang
saling berhadapan; pada segilima-KASUR, sisi KA dan sisi SU merupakan dua sisi yang saling
Definisi 38. Diagonal Segibanyak.
Diagonal suatu segibanyak adalah ruasgaris yang ujung-ujungnya merupakan titik sudut – titik sudut yang saling berhadapan dalam segibanyak tersebut. Atau, diagonal suatu segibanyak adalah ruasgaris yang ujung-ujungnya bukan merupakan titik sudut – titik sudut yang saling berdekatan dalam segibanyak tersebut.
Berdasarkan Definisi 38. , maka suatu segitiga tidak memiliki diagonal. Mengapa?
Definisi 39. Segibanyak Konveks
Suatu segibanyak dikatakan sebagai segibanyak konveks, jika semua diagonalnya terletak di daerah dalam segibanyak tersebut.
Dalam Gambar 51. , segiempat-DILM, segilima-WZQTV, dan segienam-FGHJPC, masing-masing bukan merupakan segibanyak konveks. Mengapa? …….
Gambar 51. Contoh Segibanyak Konveks dan Bukan Segibanyak Konveks
SEGITIGA
Definisi 40. Segitiga
Segitiga adalah gabungan tiga ruas garis yang tertentu oleh tiga titik yang tidak segaris dan setiap pasang titik merupakan ujung-ujung ruas garis tersebut. Ketiga ruas garis tersebut disebut sisi-sisi segitiga. Sudut-sudut yang memuat pasangan-pasangan sisi-sisi tersebut disebut sudut-sudut segitiga; dengan titik-titik sudut ketiga titik tersebut.
Perhatikan Gambar 52 berikut!
Gambar 52. Sisi-sisi dan Sudut-sudut dalam △ ABC
Misalkan tiga titik yang dimaksud Definisi Segitiga, yaitu A, B, C, maka segitiga yang terbentuk dinotasikan dengan ABC.
Pada Gambar 52.(a) ABC, sisi-sisinya yaitu AB, BC, AC.
Pada Gambar 52.(b) , salah satu sudut dalam ABC, yaitu BAC, dengan titik sudut A dan kaki-
kaki sudutnya: AB⃗⃗⃗⃗⃗ memuat sisi AB̅̅̅̅ dan AC⃗⃗⃗⃗⃗ memuat sisi AC̅̅̅̅;
Pada Gambar 52.(c) , salah satu sudut dalam ABC, yaitu ABC, dengan titik sudut B dan kaki-
kaki sudutnya: BA⃗⃗⃗⃗⃗ memuat sisi BA̅̅̅̅ dan BC⃗⃗⃗⃗⃗ memuat sisi BC̅̅̅̅;
Gambar 53. (b) blok berwarna biru menunjukkan interior BAC dalam △ABC, ditulis intBAC.
Gambar 53. (c) blok berwarna merah menunjukkan interior ABC dalam △ABC, ditulis intABC.
Gambar 53. (d) menunjukkan:
irisan ketiga sudut-dalam △ABC merupakan interior△ABC (daerah dalam △ABC), ditulis: int△ABC. Jadi int△ABC = intABC ∩ intBCA ∩CAB. Titik D terletak di daerah-dalam △ABC, ditulis Dint△ABC, karena DintABC, DintBCA, DintCAB. Titik E terletak di daerah-luar △ABC, meskipun titik E di daerah-dalam ABC, ditulis Eext△ABC. Titik F terletak di daerah-luar △ABC, meskipun titik F di daerah-dalam BAC, ditulis Fext△ABC. Titik G terletak di daerah-luar △ABC, meskipun titik G di daerah-dalam ACB, ditulis Gext△ABC. Titik H, titik I, titik J, jelas ketiganya di daerah-luar △ABC, karena ketiganya terletak di daerah luar semua sudut-dalam △ABC. Ditulis Hext△ABC, Iext△ABC, Jext△ABC, Titik K dikatakan terletak pada △ABC, karena titik K terletak pada salah satu sisi dari △ABC, ditulis K△ABC
Definisi 42 Keliling Segitiga Keliling suatu segitiga adalah jumlah ukuran ketiga sisi segitiga tersebut.
Definisi 42 ditulis dalam bentuk kalimat matematika (kalimat Geometri): ∆ABC = AB̅̅̅̅ ∪ BC̅̅̅̅ ∪ CA̅̅̅̅ ⟹ 𝒦∆ABC = AB + BC + CA
Definisi berikut merupakan hal yang baru bagimu! Perhatikan baik-baik!
Definisi 43 Inklusi dalam Segitiga
Suatu sisi pada sebuah segitiga dikatakan inklusi antara dua sudut ( kaki sekutu dua sudut ) bila dan hanya bila ujung-ujung sisi tersebut merupakan titik-titik sudut dari kedua sudut pada segitiga tersebut. Suatu sudut pada sebuah segitiga dikatakan inklusi antara dua sisi ( diapit dua sisi ) bila dan hanya bila sudut tersebut memuat dua sisi segitiga tersebut. Suatu sisi pada sebuah segitiga dikatakan menghadap sebuah sudut bila dan hanya bila sisi tersebut tidak memuat titik sudut dari sudut tersebut; sudut tersebut juga dikatakan menghadap sisi.
Gambar 54
Pada gambar △ABC di sebelah kiri: Sisi AB̅̅̅̅ merupakan inklusi antara ABC dan CAB, karena ujung-ujung AB̅̅̅̅ , yaitu A merupakan titik-sudut dari CAB, dan B merupakan titik-sudut dari ABC. Sisi AC̅̅̅̅ merupakan inklusi antara ………………. Sisi BC̅̅̅̅ merupakan inklusi antara ……………….
Pada Gambar 54 :
ABC merupakan inklusi antara sisi AB̅̅̅̅ dan sisi BC̅̅̅̅, karena kaki BA⃗⃗⃗⃗⃗ dari ABC memuat sisi AB̅̅̅̅, kaki BC⃗⃗⃗⃗⃗ dari ABC memuat sisi BC̅̅̅̅; ACB merupakan inklusi antara …………. CAB merupakan inklusi antara ………….
Gambar 55. Relasi Sudut dan Sisi dalam △ ABC
Definisi 45 Segitiga Samasisi Segitiga samasisi adalah segitiga yang ketiga sisinya sepasang-sepasang saling kongruen.
Selanjutnya untuk suatu segitiga yang sisi-sisinya tidak memenuhi Definisi Segitiga Samakaki dan Definisi Segitiga Smasisi, disebut segitiga sederhana (orang-orang Indonesia sering mengatakan dengan sebutan segitiga sembarang). Perhatikan Gambar 57.!
Gambar 57. Segitiga Samasisi POR dan Tiga Segitiga Sederhana
Definisi 46 Segitiga Tumpul Segitiga tumpul adalah segitiga yang salah satu sudutnya merupakan sudut tumpul.
Definisi 47 Segitiga Siku-siku Segitiga siku-siku adalah segitiga yang salah satu sudutnya merupakan sudut siku-siku. Sisi yang menghadap sudut siku-siku disebut sisimiring (hypotenuse) dan sisi-sisi yang lain disebut sisi-sisi siku-siku.
Definisi 48 Lancip Segitiga lancip adalah segitiga yang ketiga sudutnya merupakan sudut lancip.
Definisi 49 Siku-siku Samakaki Segitiga siku-siku samakaki adalah segitiga siku-siku yang sisisisi siku-sikunya saling kongruen.
Definisi 50 Tumpul Samakaki Segitiga tumpul samakaki adalah segitiga tumpul yang sudut tumpulnya terapit oleh dua sisi yang saling kongruen.
GARIS-GARIS DALAM SEGITIGA
Definisi 51. Garis-berat/Median Sebuah ruas garis dikatakan sebagai garisberat ( median ) sebuah sisi suatu segitiga bila dan hanya bila ujung-ujung ruas garis tersebut merupakan titik sudut segitiga dan titik tengah sisi di hadapan titik-sudut tersebut.
Gambar 58. Garis-berat dalam Segitiga
Wujud garis-berat dalam segitiga berupa ruasgaris. Ingat sebutan kata “garis” dalam kata “garis-berat” tidak menunjukkan wujudkan berupa garis. Ini sebutan saja di Indonesia sejak jaman dahulu matematika dikenal di Indonesia.
Definisi 53. Sumbu Ruasgaris Sebuah garis dikatakan sebagai sumbu suatu ruas garis bila dan hanya bila garis tersebut merupakan garisbagi dan saling tegak lurus dengan ruas garis tersebut.
Pada sebuah segitiga, bila ruas garis yang dimaksud dalam Definisi Sumbu Ruasgaris merupakan sisi sebuah segitiga, sumbu tesebut dinamakan sumbu pada segitiga. Perhatikan Gambar 61.
Gambar 61. Sumbu-sumbu dalam △ ABC
Definisi 54. Garis-tinggi Garistinggi dari sebuah segitiga adalah ruas garis tegak lurus yang menghubungkan sebuah titik sudut pada segitiga dengan sebuah titik pada garis yang memuat sisi di hadapan titik sudut tersebut.
Gambar 62. Garis-tinggi – garis-tinggi dalam △ ABC
Definisi 55. Sudut Luar Segitiga Sebuah sudut dikatakan sebagai sudut luar segitiga bila dan hanya bila sudut tersebut bersisian dengan sebuah sudut dari segitiga.
Coba gambarlah yang dimaksud sudut-luar segitiga!
Teorema-teorema yang menjelaskan sifat-sifat segitiga dibahas dalam bagian berikutnya: Kekongruenan, Ketidaksamaan dalam Geometri, Kesejajaran, Segiempat, dan Kesebangunan.
KERJAKAN JUGA PENYELIDIKAN GARIS-GARIS DALAM SEGITIGA dalam berkas : KONSTRUKSI GARIS-GARIS DALAM SEGITIGA.pdf
