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Solutions exercices supplémentaires
Chapitre 9 : Tests d’hypothèses
Question 1
D’après le service à la clientèle d’un magazine s’adressant aux petites entreprises et aux travailleurs autonomes, on apprend que le nombre moyen de commandes par mois pour des produits de bureau serait de 2.2 pour ces types d’entreprises. Un sondage récent effectué par un bureau indépendant de recherche pour le compte du secteur canadien des produits de bureau donne, pour 80 entreprises de la région de Québec, une moyenne de 2.4 et un écart type de 0.608. Tester, au seuil de signification α = 0.01, l’affirmation concernant le nombre moyen de commandes par mois.
Réponse :
H 0 : μ = 2.
H 1 : μ ≠ 2.
On dispose de l’information suivante :
- μ 0 = 2.
- ҧݔ = 2.
- s = 0.
- n = 80
- α = 0.
La règle de décision du test bilatéral sur une moyenne lorsque n ≥ 30 et σ^2 inconnue est
de rejeter H 0 si | z | > z α/2 où :
ଶ.ସିଶ.ଶ .଼/ √଼ = 2.94 donc | z | = | 2.94 | = 2.
Puisque | z | > z α/2 on rejette H 0. On conclut qu’il est faux d’affirmer que le nombre
moyen de commandes par mois pour des produits de bureau est de 2.2 pour les
petites entreprises et les travailleurs autonomes.
Question 2
Un test mesure la teneur en alcool dans le sang avec une erreur aléatoire normalement distribuée d'espérance nulle et d'écart type 0.01 mg/L. Un individu intercepté par la police lors d'un contrôle routier passe le test à trois reprises de façon indépendante. Les résultats obtenus sont de 0.10, 0.08 et 0.09 mg/L. Quel est le plus petit seuil auquel on rejetterait l'hypothèse à l'effet que H 0 : μ = 0.08 mg/L au profit de H 1 : μ ≠ 0_._ 08 mg/L?
Réponse :
H 0 : μ = 0.
H 1 : μ ≠ 0.
Soit X = la teneur en alcool dans le sang de l’individu
X ∼ N(μ, 0.01^2 )
On dispose donc de l’information suivante :
- μ 0 = 0.
- σ = 0.
- n = 3
- ҧݔ = (0.10 + 0.08 + 0.09) / 3 = 0.
La règle de décision du test bilatéral sur une moyenne lorsque n < 30 et σ^2 connue est de
rejeter H 0 si | z | > z α/
où z = ௫ ఙ/
ҧିఓ √^
.ଽି.଼ .ଵ/√ଷ = 1.73 donc | z | = | 1.73 | = 1.
Bref, on rejette H 0 si 1.73 > z α/.
Par définition, la probabilité à droite de z α/2 sur la densité de la loi N(0,1) est α/2. Or, on
retrouve une probabilité de 0.0418 à droite de la valeur 1.73. Par la suite, on trouve que ఈ ଶ
= 0.0418 implique que α = 0.0836.
Si l’on considère une valeur de z α/2 plus petite que 1.73, nous obtiendrons une valeur de α
plus grande. On peut donc affirmer que le plus petit seuil auquel on rejette l’hypothèse
nulle est 0..
b) Si la vraie proportion est en réalité de 0.55, quelle est la probabilité que, dans un échantillon de 100 consommateurs, cela ne soit pas détecté, et qu’ainsi on mette quand même en branle la production de la nouvelle calandre?
Solution :
On désire encore tester les hypothèses suivantes : H 0 : p ≥ 0.
H 1 : p < 0.
On dispose de l’information suivante :
- p 0 = 0.
- p = 0.
- n = 100
- α = 0.
Notez que la vraie valeur de p nous est divulguée. Cette fois-ci, ҧ est inconnue (la
proportion des gens dans l’échantillon de 100 personnes qui sont en faveur de la nouvelle
calandre).
On cherche l’erreur de type β, c’est-à-dire :
P(enclencher la production | la vraie proportion est inférieure à 60%)
= P(accepter H 0 | p = 0.55)
= P( z ≥ - z α)
= P( ഥ ି . ඥ. ሺଵି. ሻ/ଵ
= P( ҧ > 0.5194)
Ainsi, on va accepter H 0 si la proportion dans l’échantillon excède 51.94% (c’est-à-dire si
au moins 52 personnes déclarent qu’elles aiment la calandre redessinée).
Comment calculer cette probabilité? Nous avons besoin de la loi de la variable ҧ!
Nous avons vu dans le cadre du chapitre sur l’échantillonnage que :
ሺଵି ҧ ∼ N( p , (^) ሻ )
Dans le cas présent, nous avons donc :
ҧ ∼ N( 0.55 , (^) ଵ .ହହ ሺଵି.ହହሻ )
ҧ ∼ N( 0.55 , 0.002475)
Nous sommes maintenant en mesure de calculer la probabilité cherchée (en se ramenant à
la loi N(0,1)) :
P( ҧ > 0.5194) = P( ҧି.ହହ √.ଶସହ
.ହଵଽସି.ହହ √.ଶସହ
= P(Z > -0.62)
= P(Z ≤ 0.62)
Si la vraie proportion des consommateurs dans la population qui aiment la nouvelle
calandre est de 55%, il y a une probabilité de 73.24% que l’on accepte l’hypothèse nulle
disant que cette proportion est supérieure à 60%.
Question 4
La station radiophonique CBAV a assuré à un embouteilleur de liqueurs douces que ses ventes s’accroîtraient sensiblement si l’embouteilleur lui confiait l’exclusivité de sa publicité radiophonique. L’embouteilleur accepte d’essayer le programme de publicité proposé par la station de radio pour une durée de 4 mois (16 semaines). Dans le passé, les ventes hebdomadaires moyennes étaient de 250 000 $ avec un écart type de 50 000 $. Pour les quatre mois pendant lesquels CBAV fut chargée de la publicité radiophonique, les ventes hebdomadaires moyennes furent de 270 000 $ (avec un écart type inchangé). On suppose les ventes distribuées normalement.
a) L’embouteilleur peut-il conclure au niveau α = 0.01 que ses ventes ont augmenté?
Solution :
H 0 : μ ≤ 250 000
H 1 : μ > 250 000
On veut de fortes preuves que les ventes ont augmenté avant de conclure à une hausse
significative. C’est la raison pour laquelle on met l’hypothèse μ > 250 000 en tant
qu’hypothèse alternative (H 1 ).
Question 5
Les étudiants en administration de l’Université Laval, c’est bien connu, sont de grands amateurs de bière. Lors d’un jeudi soir bien arrosé, un groupe d’étudiants s’intéresse à la vraie proportion de buveurs de Budweiser qui peuvent distinguer leur bière d’une autre marque appelée Bleue. Ils décident donc de faire un test à l’aveugle auprès de 100 étudiants et étudiantes, passionnés par le cours Probabilités et statistique et, par-dessus tout, buveurs de Bud, afin de déterminer le nombre d’identifications correctes suite au test. On a observé 57 identifications correctes.
a) À partir du résultat observé, peut-on soutenir que la vraie proportion de buveurs de Bud qui peuvent distinguer leur bière de la Bleue est de 50 % au niveau de signification α = 0.05?
Solution :
H 0 : p = 0.
H 1 : p ≠ 0.
On dispose de l’information suivante :
- p 0 = 0.
- ҧ = ହ ଵ = 0.
- n = 100
- α = 0.
La règle de décision du test bilatéral sur une proportion est de rejeter H 0 si | z | > z α/2 où :
ሻ/ଵ
.ହ ି .ହ ඥ.ହ ሺଵି.ହ = 1.40 donc | z | = | 1.40 | = 1.
Puisque | z| n’est pas plus grand que z α/2 on ne rejette pas H 0. On conclut qu’il y a bel
et bien 50% des étudiants en administration qui peuvent distinguer la Budweiser de
la Bleue.
b) Calculer la puissance de ce test lorsque la vraie proportion est de 60 %.
Solution :
On désire encore tester les hypothèses suivantes : H 0 : p = 0.
H 1 : p ≠ 0.
On dispose de l’information suivante :
- p 0 = 0.
- p = 0.
- n = 100
- α = 0.
Notez que la vraie valeur de p nous est divulguée. Cette fois-ci, ҧ est inconnue (la
proportion des étudiants dans l’échantillon de taille 100 qui ont correctement identifié
leur bière).
On cherche la puissance du test :
Puissance = P(rejeter H 0 sachant que H 0 est fausse, ici p = 0.6) = P( | z | > z α/2 ) = P( | z | > 1.96) = P( z > 1.96) + P( z < -1.96) = P(ඥ ҧି ሺଵି ሻ/ > 1.96) + P(ඥ
ҧି ሺଵି ሻ/ < -1.96) = P( ඥ
ҧି.ହ .ହ ሺଵି.ହ ሻ/ଵ > 1.96) + P(ඥ
ҧି.ହ .ହ ሺଵି.ହ ሻ/ଵ < -1.96) = P( ҧ > 0.598) + P( ҧ < 0.402)
Ainsi, on va rejeter H 0 si la proportion dans l’échantillon excède 59.8% ou si elle est
inférieure à 40.2%.
Comment calculer cette probabilité? Nous avons besoin de la loi de la variable ҧ!
Nous avons vu dans le cadre du chapitre sur l’échantillonnage que :
ሺଵି ҧ ∼ N( p , (^) ሻ )
Dans le cas présent, nous avons donc :
On dispose de l’information suivante :
- μ 0 = 120
- n = 8
- ҧݔ = (150 + 168 + 144 + 120 + 144 + 168 + 156 + 150) / 8 = 150
- Σ xi^2 = 150 2 + 168 2 + 144^2 + 120 2 + 144 2 + 168 2 + 156 2 + 150^2 = 181 656
- s^2 = [Σ xi^2 – n ҧݔ^2 ] / [ n – 1 ] = [ 181 656 – 8 (150) 2 ] / [ 8 – 1] = 236.
- s = √236.5714 = 15.
- α = 0.
La règle de décision du test unilatéral supérieur sur une moyenne lorsque n < 30 et σ^2
inconnue est de rejeter H 0 si t > t α ( n -1) où :
ଵହିଵଶ ଵହ.ଷ଼଼଼/ √଼ = 5.
- t α ( n -1) = t 0.05 (7) = 1.
Puisque t > t α ( n -1) on rejette H 0. On conclut que les programmeurs prennent plus de
2 heures à écrire la sous-routine.
Question 7
Une machine automatique est utilisée pour effectuer le remplissage d’un certain contenant. La machine est ajustée pour assurer le maintien du volume dans le contenant à 400 ml avec un écart type de 50 ml. Un échantillon de 25 contenants a donné une moyenne de 422 ml. a) Quelles seraient les hypothèses les plus appropriées à tester dans cette situation?
- H 0 : μ = 422 versus H 1 : μ ≠ 40
- H 0 : μ ≤ 422 versus H 1 : μ > 400
- H 0 : μ ≥ 422 versus H 1 : μ < 400 4. H 0 : μ = 400 versus H 1 : μ ≠ 400
- H 0 :^ μ^ ≤^ 400 versus H 1 :^ μ^ > 400
- H 0 : μ ≥ 400 versus H 1 : μ < 400
On veut une moyenne la plus près possible de 400 ml (si on ne remplit pas les contenants suffisamment les consommateurs vont se plaindre, et si on remplit trop les contenants la compagnie perd de l’argent).
b) Si, en réalité, la machine est ajustée à 410 ml, quelle est la probabilité de ne pas détecter ce changement avec un échantillonnage de 25 contenants (supposons ici σ = 50 ml et α = 0.01)?
a) 0.005 b) 0.94 c) 0.99 d) 0.06 e) 0.
μ= 410, n = 25, σ = 50 et α = 0. n < 30, σ^2 est connue et la loi de X est normale donc : ܺ ܺത ܺത ത
ҧିఓ ఙ/√
~ N(μ, σ^2 / n) ~ N(410, 50 2 / 25) ~ N(410, 100)
On cherche la probabilité suivante :
P(accepter H 0 sachant que H 0 est fausse puisque μ = 410) = P(|z| < zα/2) = P(|z| < z0.005 ) = P(|z| < 2.575) = P(z < 2.575) – P(z < -2.575)
= P( ௫ < 2.575) - P( ௫ҧି ఓ ఙ/√ < -2.575)
= P( ௫ ହ/
ҧିସ √ଶହ^
< 2.575) - P(
௫ ହ/
ҧିସ √ଶହ^
= P(ҧݔ < 425.75) - P(ҧݔ < 374.25)
= P( ௫ҧି ସଵ √ଵ <^
ସଶହ.ହିସଵ √ଵ^
) - P(
௫ҧି ସଵ √ଵ <^
ଷସ.ଶହିସଵ √ଵ^
= P(Y < 1.58) – P(Y < -3.58) où Y ~ N(0,1) = 0.94 – 0 = 0.
c) Comment appelle-t-on la probabilité calculée en b)?
a) erreur de type β b) niveau de signification c) puissance du test d) erreur de type α e) aucune de ces réponses
b) D’autres vérificateurs ont par ailleurs prélevé un échantillon aléatoire de taille 50 afin d’analyser le temps de retard des compte en souffrance. Ils ont obtenu la distribution de fréquences suivante :
X = Nombre de semaine en retard n = nombre de comptes
0 < x ≤ 3 25 3 < x ≤ 6 15 6 < x ≤ 9 8 9 < x 2 50 Les données supportent-elles l’hypothèse nulle qui affirme qu’au plus 10 % des comptes en souffrance ont un temps de retard supérieur à 6 semaines? (α = 0.05)
Réponse :
Soit p = proportion des comptes en souffrance ayant un retard supérieur à 6 semaines. On
veut tester les hypothèses suivantes :
H 0 : p ≤ 0.
H 1 : p > 0.
On dispose de l’information suivante :
- p 0 = 0.
- ҧ = ଼ ାଶ ହ = 0.
- n = 50
- α = 0.
La règle de décision du test unilatéral supérieur sur une proportion est de rejeter H 0 si
z > z α où :
- z = ҧି ඥ ሺଵି ሻ/=^ ඥ ଵି.ଵ ሻ/ହ
.ଶ ି .ଵ .ଵ ሺ = 2.
Puisque z > z α on rejette H 0. On conclut qu’il y a plus de 10% des comptes en
souffrance qui ont un retard supérieur à 6 semaines.
Question 9
Burger King a parrainé ce qu’il croyait être la plus grosse campagne publicitaire dans l’histoire des « fast food » lorsqu’il inaugura «La journée des frites gratuites» le vendredi 2 janvier 1998. Chaque personne qui s’arrêtait dans l’un des 7400 restaurants Burger King recevait gratuitement une petite portion des nouvelles frites Burger King. Un sondage national de goût, comparant les frites Burger King aux frites McDonald’s, a constitué la base du lancement de la publicité de Burger King. Sur les 500 clients qui ont participé à ce test de goût, 285 ont préféré les frites Burger King. Au niveau de signification 1 %, peut-on dire que les frites Burger King sont préférées aux frites McDonald’s?
Solution :
Soit p = proportion des consommateurs préférant les frites Burger King. On veut tester
les hypothèses suivantes :
H 0 : p ≤ 0.
H 1 : p > 0.5 (constitue l’hypothèse de recherche)
On dispose de l’information suivante :
- p 0 = 0.
- ҧ = ଶ଼ହ ହ = 0.
- n = 500
- α = 0.
La règle de décision du test unilatéral supérieur sur une proportion est de rejeter H 0 si
z > z α où :
- z = ҧି ඥ ሺଵି ሻ/=^ ሻ/ହ
.ହ ି .ହ ඥ.ହ ሺଵି.ହ
Puisque z > z α on rejette H 0. On conclut que les gens préfèrent bel et bien les frites
de Burger King à celles de McDonald’s.
Lorsque n ≤ 30, σ^2 est connue et la loi de X est normale, la statistique de test est :
z = ௫ ఙ/
ҧିఓ √^
௫଼ /
ҧିହଶ √ଶହ^
௫ҧି ହଶ ଵ.
On rejette H 0 si | z | > z α/2 où z α/2 = z 0.025 = 1.96.
Bref, on rejette H 0 si z > 1.96 ou z < -1.96.
On rejette H 0 si ௫ҧି ହଶ ଵ. > 1.96 ou si^
௫ҧି ହଶ ଵ. < -1.96.
La règle de décision est donc de rejeter H 0 si ࢞ ഥ > 55.136 ou si ࢞ ഥ < 48..
On a obtenu ࢞ ഥ = 49.5 qui est entre 48.864 et 55.136 donc on accepte H 0 : μ = 52.
Question 11
Une firme automobile fait appel à vous pour un projet de fabrication d’un modèle de voiture de type économique. La firme veut d’abord vérifier si la consommation d’essence est le facteur primordial qui motive l’achat de ce genre de voiture. Sur un échantillon aléatoire de 120 propriétaires de ce type de voiture, 40 ont estimé que le critère «consommation» a été celui qui a le plus motivé leur décision d’achat.
a) Testez au seuil α = 0.05 les hypothèses : Ho : p = 0.4 contre H 1 : p ≠ 0.4 où p est la proportion de ceux qui favorisent le critère «consommation».
H 0 : p = 0.
H 1 : p ≠ 0.
On dispose de l’information suivante :
ଵ ଷ
La règle de décision du test bilatéral sur une proportion est de rejeter H 0 si | z | > z α/2 où :
భ య ି.ସ ඥ .ସ ሺଵି.ସ ሻ/ଵଶ = -1.49 donc | z | = | -1.49 | = 1.
Puisque | z| n’est pas plus grand que z α/2 on ne rejette pas H 0. On conclut que le
critère « consommation » est le principal facteur d’achat chez 40% des propriétaires
de voitures.
b) Après avoir fabriqué un certain nombre de «prototypes», la compagnie prétend que pour ce modèle, la consommation moyenne d’essence μ est égale à 7 litres par 100 km pour les grandes vitesses (100 km/h). Sur un échantillon aléatoire de 5 voitures (population supposée normale), voici les résultats obtenus sur la consommation (X, en litres par 100 km) :
8.1 8.5 8.9 9.7 9.
Au niveau de risque α = 0.05, supportez-vous la thèse de la compagnie?
H 0 : μ = 7
H 1 : μ ≠ 7
On dispose de l’information suivante :
- μ 0 = 7
- n = 5
- ҧݔ = (8.1 + 8.5 + 8.9 + 9.7 + 9.8) / 5 = 9
- Σ xi^2 = 8.1 2 + 8.5 2 + 8.9 2 + 9.7 2 + 9.8^2 = 407.
- s^2 = [Σ xi^2 – n ҧݔ^2 ] / [ n – 1 ] = [407.2 – 5 (9) 2 ] / [ 5 – 1] = 0.
- s = 0.
- α = 0.
La règle de décision du test bilatéral sur une moyenne lorsque n < 30 et σ^2 inconnue est
de rejeter H 0 si | t | > t α/2 (n-1) où :
ଽି .ସଵଶ/√ହ = 6.03 donc | t | = | 6.03 | = 6.
- t α/2 (n-1) = z 0.025 (4) = 2.
Puisque | t | > t α/2 (n-1) on rejette H 0. On conclut que la thèse de la compagnie, à savoir
que la consommation moyenne d’essence est égale à 7 litres par 100 km, est fausse.
Question 13
Suite à une enquête auprès d'un échantillon de 500 étudiants, on a constaté que 419 parmi
eux possédaient une voiture. Cela contredit-il l'hypothèse selon laquelle 80% des
étudiants possèderaient une voiture
H 0 : p = 0.
H 1 : p ≠ 0.
On dispose de l’information suivante :
- p 0 = 0.
- ҧ = ସଵଽ ହ = 0.
- n = 500
La règle de décision du test bilatéral sur une proportion est de rejeter H 0 si | z | > z α/2 où :
ҧି ඥ ሺଵି ሻ/=^ ሻ/ହ
.଼ଷ଼ ି .଼ ඥ.଼ ሺଵି.଼ = 2.12 donc |^ z^ | = | 2.12 | = 2.
a) au niveau α = 5%?
z α/2 = z 0.025 = 1.
Puisque | z| > z α/2 on rejette H 0. On conclut qu’il n’y a pas 80% d’étudiants possédant
une voiture.
b) au niveau α = 1%?
z α/2 = z 0.005 = 2.
Puisque | z| n’est pas plus grand que z α/2 on ne rejette pas H 0. On conclut que 80%
des étudiants possèdent une voiture.
Question 14
Les propriétaires d’un centre commercial souhaitent étudier les habitudes de consommation des clients. Selon des études antérieures, un client type passe en moyenne 0.75 heure au centre commercial, avec un écart type de 0.10 heure. Récemment, les propriétaires ont ajouté des restaurants spécialisés afin que les clients restent plus longtemps dans le centre commercial. Cet ajout ne devrait pas affecter l’écart type du temps passé dans le centre commercial. Les propriétaires ont retenu les services d’une firme-conseil afin d’évaluer l’impact des nouveaux restaurants sur le temps moyen passé dans leur centre commercial. Un échantillon aléatoire de 45 clients a été prélevé par la firme. Le temps moyen passé dans le centre commercial par les clients de l’échantillon était de 0.80 heure.
a) Concevez un test d’hypothèse pour déterminer si l’on peut conclure que le temps moyen passé par les clients dans le centre commercial est supérieur à 0.75 heure. Utilisez un seuil de signification de 0.05.
H 0 : μ ≤ 0.
H 1 : μ > 0.
On dispose de l’information suivante :
- μ 0 = 0.
- ҧݔ = 0.
- σ = 0.
- n = 45
- α = 0.
La règle de décision du test unilatéral supérieur sur une moyenne lorsque n ≥ 30 et σ^2
connue est de rejeter H 0 si z > z α où :
.଼ ି .ହ .ଵ/√ସହ = 3.
Puisque z > z α on rejette H 0. On conclut que les gens passent en moyenne plus de
0.75 heure dans le centre commercial.
