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Solutions exercices supplémentaires
Chapitre 7 : Échantillonnage
Question 1
Supposons que la longueur des tiges métalliques produites par une machine soit distribuée selon une loi normale de moyenne 80 cm et d’écart type 6 cm. À intervalles réguliers, un échantillon aléatoire de 9 pièces est prélevé et mesuré.
a) Déterminer la limite inférieure qui, 90 fois sur 100, sera excédée par les moyennes de ces échantillons.
Soit X = la longueur d’une tige métallique produite par la machine;
Alors, selon l’énoncé du problème on a que X ∼ N (80, 6^2 ). On sait également que la taille d’échantillon n = 9.
n < 30, la loi de X est normale et σ^2 est connue donc : ^ ∼ N(μ, σ^2 / n ) ^ ∼ N(80, 36 / 9) ^ ∼ N(80, 4)
On cherche la longueur a qui est telle qu’on a P(^ > a ) = 0.9.
P(
√
√
P(Z >
√ ) = 0.
Selon la table de la loi N(0,1), le point tel qu’on retrouve 90% de la probabilité à sa droite est -1.28. Pourquoi? Ceci revient à chercher le point tel qu’on retrouve 10% de la probabilité à sa gauche. Autrement dit, on cherche le point x qui est tel que P(Z < x ) = 0.10. Or, la table des valeurs négatives de la loi normale centrée réduite indique que P(Z < -1.28) = 0.1003 (ce qui est très proche de 0.1000 !).
On en déduit alors que :
-1.28 = √ a = (-1.28 * 2) + 80 a = 77.44 cm Il y a 90% de chances que la longueur moyenne d’un échantillon de 9 tiges métalliques soit supérieure à 77.44 cm.
b) Supposons que les tiges sont maintenant fabriquées selon un nouveau procédé. Émettons l’hypothèse que ce procédé fabrique des tiges ayant une longueur moyenne de 81 cm, mais selon un écart type inconnu. Les 5 premières tiges fabriquées selon ce nouveau procédé mesurent 82, 79, 80, 85 et 84 cm. Quelle est la probabilité pour que la moyenne d’un échantillon aléatoire de 5 autres pièces soit comprise entre 78.569 et 82.748 cm?
Soit Y = la longueur d’une tige métallique produite selon le nouveau procédé
On vous indique que Y ∼ N(81, σ^2 ).
n < 30, la loi de X est normale et σ^2 est inconnue donc :
/√ ∼^ tn-
On sait que μ = 81 et n = 5. Il reste à déterminer la valeur de s.
s^2 = [ Σ xi^2 – n ̅^2 ] / [ n – 1]
où :
- Σ xi^2 = 82^2 + 79^2 + 80^2 + 85^2 + 84^2 = 33 646
- ̅ = (82 + 79 + 80 + 85 + 84) / 5 = 82
Donc, s^2 = [ 33 646 – (5 * 82^2 ) ] / [ 5 – 1] = 6.
On sait maintenant que √./√^ ∼^ t^4
P(78.569 < ^ < 82.748) = P(^ < 82.748) – P(^ < 78.569)
= P( √./√^ <^
. √./√^ ) - P(^
√./√^ <^
. √./√^ ) = P(T < 1.533) – P(T < -2.132) (où T ∼ t 4 ) = [1 - P(T > 1.533)] – P(T > 2.132) (où T ∼ t 4 ) = [1 - 0.10] – 0.05 (selon la table de la loi de Student) = 0.90 – 0.
Question 3
La société Sony fabrique un baladeur qui fonctionne avec deux piles AA. Supposez que la durée de vie moyenne de ces piles soit de 35.0 heures. La distribution de la durée de vie des piles est très proche de la loi normale, avec un écart type de 5.5 heures. Dans le cadre de son programme de contrôle, Sony teste des échantillons de 25 piles prélevées aléatoirement.
a) Quelle est la distribution d’échantillonnage de la moyenne de l’échantillon?
Soit X = la durée de vie des piles. Selon l’énoncé du problème, on a que X ∼ N(35, 5.5^2 ).
n < 30, la loi de X est normale et σ^2 est connue donc :
^ ∼ N(μ, σ^2 / n ) ^ ∼ N(35, 5.5^2 / 25) ^ ∼∼∼∼ N(35, 1.21)
b) Quelle est l’erreur type de la moyenne d’échantillon?
L'erreur type de la moyenne d’échantillon est √1.21 = 1.
c) Quelle est la proportion des échantillons ayant une durée de vie moyenne supérieure à 36 heures?
( ) ( )
x P x P P Z , , ,
−^ −
f f f 1 – P(Z < 0.91) = 1 – 0.8186 =^ 0.
d) Quelle est la proportion des échantillons ayant une durée de vie moyenne supérieure à 34.5 heures?
P(^ > 34.5) = P(
. >^
. . ) = P(Z > -0.45) = P(Z < 0.45) =^ 0.
e) Quelle est la proportion des échantillons ayant une durée de vie moyenne se situant entre 34.5 et 36 heures?
P(34.5 < ^ < 36) = P(^ < 36) – P(^ < 34.5)
= [ 1 - P(^ > 36) ] – [ 1 - P(^ > 34.5) ]
(ces 2 probabilités ont été calculées aux deux parties précédentes) = [ 1 – 0.1814 ] – [ 1 – 0.6736 ]
Question 4
Le poids des contenants de détergent se distribue normalement selon une loi normale de
moyenne 5.2 kg et d’écart type 0.4 kg.
On prétend que le poids minimum des contenants est de 5 kg; on prélève un échantillon
aléatoire (avec remise) de 16 contenants; quelle est la probabilité pour que la moyenne
des poids des contenants dans cet échantillon excède ce poids minimum de 5 kg?
Posons X = le poids d’un contenant de détergent. Selon l’énoncé du problème, X ∼ N(5.2, 0.4^2 ). On sait également que n = 16.
n < 30, la loi de X est normale et σ^2 est connue donc :
^ ∼ N(μ, σ^2 / n ) ^ ∼ N(5.2, 0.4^2 / 16) ^ ∼ N(5.2, 0.01)
P(^ > 5) = P(
. √. >^
. √.) = P(Z > -2.00) = P(Z < 2.00)
