Download excersice toán cao cấp and more Exercises Economics in PDF only on Docsity!
Chương 1. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN
Bài 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ THỰC
1.1. Các định nghĩa
Định nghĩa 1. Một hàm số f đi từ tập các số nguyên dương
vào tập số thực
f : ^ , theo đó với mỗi số nguyên dương
(^) n cho tương ứng với duy nhất một
số thực xn . Mỗi hàm số như vậy được gọi là một dãy số thực và được biểu diễn như
sau: 1 2
n x x x viết gọn là n
x. Số
n
x được gọi là số hạng tổng quát.
Ví dụ 1. Cho một hàm số
f : được xác định như sau: 1 3 n
f n x n. Ta có
1 2 3 4
x 4, x 7, x 10, x 13,... Khi đó ta có dãy số:
4, 7, 10, 13, ...., 1 3 , .... n
Số hạng tổng quát 1 3
n
x n.
Định nghĩa 2. Dãy n x được gọi là hội tụ về số thực a nếu 0, N=N (^) sao
cho n Nthì xn a . Và khi đó a được gọi là giới hạn của dãy số (^) xn , kí hiệu:
lim
n n
x a
hay
xn a
khi n .
Ví dụ 2 .Chứng minh rằng dãy số sau đây hội tụ về 2017.
2 3 4 5 n
Giải. Ta có
xn 2017 xn 2017 n n
. Ta cần chứng minh
0, N=N (^) sao cho n Nthì
n
x
n
Thật vậy, với mọi cho trước ta chọn
N=
(là phần nguyên của
) , khi đó
n N n
n
(đpcm).
Ví dụ 3. Chứng minh rằng 2
lim 0
n 1
n
n
Giải. Ta cần chứng minh 0, N=N (^) sao cho n Nthì 2
n
n
. Nhận
thấy rằng 2 2
n n
n n n
, để
n
n
, vậy với mọi cho trước ta chọn
N=
khi đó 2
N
n
n n
n n
(đpcm).
Định nghĩa 3. Giới hạn tại vô cực:
lim (^) n 0, n
x E N E
sao cho n N E thì n
x E.
lim (^) n 0, n
x E N E
sao cho n N E thì xn E.
Ví dụ 4. Chứng minh rằnglim ( 1)
n
n
a a
Giải. Ta cần chứng minh E 0, N E sao cho n N E thì
n a E. Nhận thấy rằng
để
ln
ln ln ln ln
ln
n n E
a E a E n a E n
a
. Vậy E 0 ta chọn
ln
ln
E
N E
a
, khi đó n N E thì
ln
ln
E n
n a E
a
(đpcm).
Định nghĩa 4.
Dãy (^) xn được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số thực a sao cho xi a , x (^) i xn .
Dãy n x được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số thực a sao cho , i i n
x a x x.
Dãy n
x được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, nghĩa là nếu tồn tại
số thực a sao cho xi a , x (^) i xn .
1.2. Các định lí về giới hạn của dãy số
1.2.1.Tiêu chuẩn hội tụ 1: Nếu yn xn zn , n n 0 với n 0 là số tự nhiên lớn hơn 0 bất
kì vàlim lim
n n n n
y z a
thìlim
n n
x a
1.2.2.Tiêu chuẩn hội tụ 2 (tiêu chuẩn Cauchy): điều kiện cần và đủ để dãy n
x có giới
hạn là
0, N=N (^) : xn (^) p xn n N và p.
1.2.3.Tiêu chuẩn hội tụ 3: Dãy đơn điệu và bị chặn thì hội tụ.
- Dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên thì hội tụ. - Dãy đơn điệu giảm và bị chặn dưới thì hội tụ.
Bài 2. GIỚI HẠN HÀM SỐ
Giả s f là hàm số xác định trên tập D và a Dhoặc a D.
2 .1. Giới thi u các hà số lư ng giác ngư c
a. Hàm số y arcsin x (Đọc là ac-sinx).
Người ta chứng minh được rằng: y sin x, 2 x 2 x arcsin y, 1 y 1.
Như vậy, hàm số:
f : [ 2; 2] [ 1;1], x sin x
O
1
2 ^
2
y sinx x
y
có hàm số ngược:
1 f : [ 1;1] [ 2; 2], x arcsin x
O^1
2
2 ^
x
y
y arcsinx
Hàm số y arcsin xcó miền xác định [ 1;1] , miền giá trị [ 2; 2], là hàm số tăng trên
[ 1;1].
b. Hàm số y arccosx (Đọc là ac-cosx).
Ta có: y cosx,0 x x arccos y, 1 y 1.
Vậy, hàm sốf : [0; ] [ 1;1], x cosx
O
1
2
y cosx
(^) x
y
có hàm số ngược:
1 f : [ 1;1] [0; ], x arccos x
-1 O^1
2
x
y
y arccosx
Hàm số y arccosxcó miền xác định [ 1;1] , miền giá trị 0;, là hàm số giảm trên[ 1;1]
c. Hàm số (^) y arctan x (Đọc là ac-tanx).
Ta có: y tan x, 2 x 2 x arctan y, y.
Hàm số f : ( 2; 2) , x tan x
O
2 ^ 2
y tanx
x
y
có hàm số ngược:
1 f : ( 2; 2), x arctan x
O
2
2 ^
x
y
y arctanx
Hàm số y arctan xcó miền xác định , miền giá trị ( 2; 2), là hàm số tăng trên.
d. Hàm số y arccot x (Đọc là ac-cotx).
Ta có: y cot x,0 x x arccot y, y.
Hàm sốf : (0; ) , x cotx
O
2
y cotx
(^) x
y
có hàm số ngược
1 f : (0; ), x arccot x
O
2
x
y
y arccotx
Hàm số (^) y arccot xcó miền xác định , miền giá trị (^) 0;, là hàm số giảm trên.
2 .2. Định nghĩa giới hạn hà số
a. Giới hạn tại đi h u hạn.
Số L được gọi là giới hạn của f (x) tại điểm a nếu với 0 bất k tồn tại 0 sao
cho với mọi x th a mãn 0 x a thì ta có f (x) L .
Viết gọn dưới dạng k hiệu logic:
x a
lim f (x) L 0, 0, x D : 0 x a f (x) L
Ví dụ. Chứng t rằng
2
x 3
lim ( x 6x 9) 0
. HD: 0 , chọn .
b. Giới hạn ột bên.
Ta định nghĩa giới hạn phải, giới hạn trái của f (x)tại a (nếu có) như sau:
x a
lim f (x) L 0, 0, x D : 0 x a f (x) L
x a
lim f (x) L 0, 0, x D : 0 a x f (x) L
Nhận xét. x a (^) x a x a
lim f (x) L lim f (x) lim f (x) L (^) ^
P(x) P(a) lim f (x) lim Q(x) Q(a)
- Nếu P(a) 0; Q(a) 0 thì phân thức
P(x)
Q(x)
cần giản ước một hoặc vài lần cho x a.
Ví dụ. Tính
3
2 x 1
x 1 I lim x 3x 2
. ĐS: I 3.
Trư ng h p 2. Khi f (x) là hàm có chứa các biểu thức vô tỷ, thì bằng cách đặt phép thế để
đưa nó về dạng hữu tỷ hoặc biến đổi để đưa biểu thức vô tỷ từ mẫu số lên t số hoặc ngược
lại.
Ví dụ. Tính x 0
x I lim x 1 1
. ĐS: I 2.
Trư ng h p 3. Khi f (x) có chứa các biểu thức lượng giác, thường áp dụng x 0
sin x lim 1 (^) x
Ví dụ. Tính 2 x 0
1 cos x I lim x
. ĐS:
1 I 2
b. Dạng
Khi
m
n
P (x) f (x) Q (x)
, trong đó P (x),Q (x)m n là hai đa thức bậc m và n tương ứng. Ta chia t
số và mẫu số cho
k (^) x , với k max(m;n).
Ví dụ. Tính
3
x^5
x x 2 I lim x 4
. ĐS: I 0.
c. Dạng :
Để tìm giới hạn của hàm số trong trường hợp này, ta biến đổi để đưa nó về dạng
0
0
hoặc
, và tiếp theo là áp dụng các phương pháp giải như đã nói ở trên.
Ví dụ. Tính
2
x
I lim x 4x x
. ĐS: I 2.
d. Dạng 0. :
Trong trường hợp này, ta cũng biến đổi để đưa nó về dạng
0
0
hoặc
Ví dụ. Tính
x 1
x I lim 1 x tan 2
. ĐS:
2 I
2.5. Vô cùng bé và v cùng lớn
a. Định nghĩa.
Hàm số f (x) được gọi là vô cùng bé (viết tắt là VCB) khi x a nếu
x a
limf (x) 0
Hàm số f (x) được gọi là vô cùng lớn (viết tắt là VCL) khi x^ a nếu
x a
limf (x)
hoặc x a
limf (x)
Nghịch đảo của VCB là VCL, và ngược lại.
Ví dụ.
2 f (x) x là một VCB khi x 0.
b.Tính chất.
Cho f (x), f (x) 1 2 là hai VCB khi x a.
(i) Nếu
1 x a 2
f (x) lim 0 f (x)
thì ta nói VCB f (x) 1 có bậc cao hơn VCB f (x) 2 và k hiệu
f (x) 1 o f (x) 2 . Ch ng hạn:
2 x o 3x.
(ii) Nếu
1
x a 2
f (x) lim C f (x)
(với C 0 ) thì ta nói VCB f (x) 1 cùng bậc với VCB f (x) 2 và k
hiệu f (x) 1 O f (x) 2 .
Đặc biệt, nếu
1 x a 2
f (x) lim 1 f (x)
thì ta nói rằng VCB f (x) 1 tương đương với VCB f (x) 2 và k
hiệu 1 2
f (x) f (x)khi x a. Ch ng hạn: sin x x khi x 0.
(iii) Nếu khi x a, có f (x) 1 f (x); g (x) 2 1 g (x) 2 thì
f (x)g (x) 1 1 f (x)g (x) 2 2 và 1 2
1 2
f (x) f (x)
g (x) g (x)
Một số c ng thức (khi x 0 ):
sin x x ; tan x x;
2 x 1 cos x 2
; ln 1^ x^ x;
x e 1 x ;
x a 1 x ln a;
a (1^ ^ x)^ ^1 ax.
Ví dụ. Tính các giới hạn: 2 x 3
sin(x 3) A lim x 4x 3
2 x 0
1 cosax B lim x
; 2 x 0
ln(cos x) C lim x
ĐS:
1 A 2
2 a B 2
1 C 2
Bài 4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
4 .1. Định nghĩa đạo hà
Giả s f là một hàm số xác định trên khoảng (^) a,b, x 0 a,b. Nếu tồn tại
0
(^00) x x
f (x) f (x ) lim x x
thì giới hạn đó gọi là đạo hàm của f (x)tại x 0 , và được k hiệu là 0
' f (x ).
Hàm số f được gọi là có đạo hàm trên (^) a,b nếu f có đạo hàm tại mọi điểm
x 0 a,b.
Khi hàm số f có đạo hàm tại điểm 0 x , ta nói f khả vi tại điểm 0 x.
Nhận xét. Nếu đặt x x x 0 thì (1.1) trở thành
0 0 0
'
x 0
f ( x x ) f (x ) f (x ) lim x
Ví dụ. Cho
2 f (x) x. Tính đạo hàm của f tại điểm x 0 theo định nghĩa.
Nhận xét. Nếu f là hàm số có đạo hàm tại x 0 thì f liên tục tại x 0.
4 .2. Ý nghĩa hình học của đạo hà
Giả s hàm số y f (x) có đồ thị là đường cong (C). Nếu f khả vi tại 0 x thì 0 f ' x
chính là hệ số góc của tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm M 0 x ,f (x ) 0 0 .
Từ đó suy ra rằng: Nếu f khả vi tại điểm 0 x thì tiếp tuyến của (C) tại M 0 x ,f (x ) 0 0
có phương trình là: y f '(x ) x 0 x 0 y 0.
4 .3. Đạo hà ột phía
- Giả s hàm số f xác định trên khoảng 0 x ,b. Nếu tồn tại
0
0 x x 0
f (x) f (x ) lim x x
thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm phải của f tại điểm x 0 , và k hiệu là
0
' f (x ).
- Giả s hàm số f xác định trên khoảng 0 a,x. Nếu tồn tại
0
0 0 x x
f (x) f (x ) lim x x
thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm trái của f tại điểm x 0 , và k hiệu là 0
' f (x )
.
Nhận xét. khả vi (có đạo hàm) tại.
Ví dụ 1. Dùng định nghĩa, tính đạo hàm (nếu có) của hàm số
x
2
e khi x 0 f x
x x 1 khi x 0
^ ^
tại điểm o x 0.
Giải.
f(x)
0 0 0
' ' x f (x ) = f (x )
- Đạo hàm bên trái của hàm số tại điểm x (^) o 0 :
^ ^
2 0
x 0 x 0 x 0 x 0
f x f 0 x^ x^1 e x x 1 f ' 0 lim lim lim lim x 1 1 x 0 x x
^ ^
- Đạo hàm bên phải của hàm số tại điểm o x 0 :
x 0 x
x 0 x 0 x 0
f x f (^0) e e e 1 f ' 0 lim lim lim 1 x 0 x x
Ta thấyf ' 0 f ' 0 1
. Vậy hàm số đã cho có đạo hàm tại điểm o x 0 và f ' 0 1.
Ví dụ 2. Cho. Tính và.
Giải.
Ta có
x khi x 0 f x x x khi x 0
^
^
- Đạo hàm bên trái của hàm số tại điểm x (^) o 0 :
x 0 x 0 x 0
f x f (^0) x 0 x f ' 0 lim lim lim 1 x 0 x x
- Đạo hàm bên phải của hàm số tại điểm x (^) o 0 :
x 0 x 0 x 0
f x f (^0) x 0 x f ' 0 lim lim lim 1 x 0 x x
Ta thấyf ' 0 f ' 0
. Vậy hàm số đã cho không có đạo hàm tại điểm o x 0.
Ví dụ 3. Dùng định nghĩa, tính đạo hàm (nếu có) của hàm số
2 x khi x 1 y f x 2x 1 khi x 1
^
tại điểm xo 1
Giải. Sinh viên tự làm xem như bài tập.
Ví dụ 4. Dùng định nghĩa, tính đạo hàm (nếu có) của hàm số
x e khi x 0 y f x x 1 khi x 0
^
tại điểm xo 0.
Giải. Sinh viên tự làm xem như bài tập.
4 .4. Quy tắc tính đạo hà
Giả s các hàm số u và v có đạo hàm (hữu hạn) tại điểm x. Khi đó các hàm số u v,
uv, ku (k là hằng số) có đạo hàm tại điểm x và
i)
' (^) ' ' u v u v; ii)
' (^) ' ' uv u v uv;
iii)
' (^) ' ku ku; iv) 2
' (^) ' ' u u v uv
v v
^
, với v(x) 0 ;
4 .5. Bảng các đạo hà cơ bản
f (x) x
' + f (0 )
' f (0 )
0
' dy f (x ). x.
Xét vi phân của hàm y xtại x 0 tùy. Khi đó 0
' f (x ) 1 và do đó dx 1. x x. Vì
vậy:
0
' dy f (x )dx^.^ (3.4)
Đ ng thức trên được gọi là biểu thức vi phân của hàm y f (x) tại 0 x.
Ví dụ. Tìm vi phân của hàm
x y x 2 log x 3 tại điểm x 0 4
b. Vi phân của tổng, tích và thương.
Từ công thức tính đạo hàm của tổng, tích và thương của hai hàm số suy ra:
d(u v) du dv ; d(uv) vdu udv; 2
u vdu udv d v v
^
c. Ứng dụng vi phân vào phép tính gần đ ng.
Giả s y f (x) là hàm số khả vi tại x 0. Theo (3.3) 0
' y f (x ). x khi x 0.
Vậy khi x khá bé, ta có: 0 0 0
' f (x ). x y f (x x) f (x ). Suy ra:
0 0 0
' f (x x) f (x ) f (x ). x. (3.5)
Ví dụ. Tính gần đúng 4 A 15,8.
HD: Xét
4 y x; chọn x 0 16 ; x 0,2; A 1,9938.
Bài 5. C C Đ NH Ý C BẢN VỀ ĐẠO HÀM VÀ ỨNG D NG ĐẠO HÀM
T M NGHI M GẦN Đ NG
A. C C Đ NH Ý C BẢN VỀ ĐẠO HÀM
5 .1. Các định l cơ bản về hà hả vi
a. Định l er at. Giả s hàm số f xác định trên (a, b)và đạt cực trị tại điểm x 0 (a, b).
Nếu f có đạo hàm tại điểm x 0 thì 0
' (^) f (x ) 0.
nghĩa hình học: Nếu f đạt cực trị tại x 0 và có đạo hàm tại có đạo hàm tại x 0 thì tiếp tuyến
của đường cong y f (x)tại điểm (^) x ;f (x ) 0 0 song song với trục hoành.
b. Định lý Rolle. Nếu hàm số f liên tục trên (^) a,b, có đạo hàm trên (^) a,b và f (a) f (b) thì
tồn tại c a,bsao cho
' f (c) 0.^ (4.1)
nghĩa hình học: Nếu cung AB của đường cong
y f (x) , với A a;f (a) và B b;f (b) , liên tục
và có tiếp tuyến tại mọi điểm, đồng thời
f (a) f (b) thì trên cung ấy có ít nhất một điểm
C có hoành độ c (a, b), ở đó tiếp tuyến song
song với trục Ox (cũng song song với dây cung
AB).
O
A B
C
a c b
x
y
Ví dụ. Cho f (x) (x 3)(x 2)(x 1).
i) Phương trình
' (^) f (x) 0 có ít nhất bao nhiêu nghiệm
ii) CMR phương trình
'' f (x) 0 có ít nhất một nghiệm trên ( 3;2).
c. Định lý Lagrange
Nếu hàm số f liên tục trên (^) a,bvà có đạo hàm trên (^) a,b thì tồn tại c a,bsao cho:
' f (b)^ f (a) f (c) b a
nghĩa hình học: Nếu cung AB của đường cong
y f (x) với A a,f (a) , B b,f (b) , liên tục và có
tiếp tuyến tại mọi điểm thì trên cung ấy có ít nhất
một điểm C có hoành độ c a,b, ở đó tiếp tuyến
song song với dây cung AB. O
A
B
C
a (^) c b
x
y
Nhận xét : Định l Rolle là một trường hợp riêng của định l Lagrange. Thật vậy, khi
f (a) f (b) thì từ (5.2) suy ra
' f (c) 0.
Ví dụ. Áp dụng định l Lagrange, CMR: sin b sina b a.
Ta chuyển về dạng
0
0
hoặc
. Ta có thể viết (^) f (x) g(x) thành một trong các dạng sau:
1 1 u v uv v u
v u v u 1 u
u u v v 1 v
Ví dụ. Tính
x 2
x
I lim (e x )
. HD:
2
x
x 2 x x 1 e
(e x ) e
(^)
; I .
e. Dạng v định
0 0 0 , ,
:
Ta viết
(x) (x) ln f (x) (^) (x)lnf (x)
f (x) e e
(^) .
Ví dụ. Tính
6 1 2ln x
x 0
A lim x
2
1 lnx
x
B lim x x 1
4
tan2x
x
C lim tan x
ĐS:
3 A e ; B e;
1 C e
.
5.3. C ng thức Taylor
a. C ng thức Taylor
Định l. Nếu hàm số f (x)có đạo hàm đến cấp n trong khoảng đóng a,bvà có đạo hàm
cấp n 1 trong khoảng mở a,b x 0 thì tồn tại điểm c a,b sao cho với mọix a,b
ta có:
0 0 2 0 0 0 0 0 0
(n) (n 1) n n 1
' '' f (x ) f (x ) f (x ) f (c) f (x) f (x ) x x x x ... x x x x 1! 2! n! (n 1)!
với
c x 0 (x x ), 0 0 1. (4.5)
Công thức (4.4) gọi là công thức Taylor, số hạng cuối ở vế phải gọi là số hạng dư Lagrange.
Biểu diễn của hàm số f (x)dưới dạng (4.4) gọi là khai triển hữu hạn của f (x)ở lân cận
điểm x 0.
Khi 0 x 0 , công thức (4.4) trở thành:
(n) (n 1) 2 n n 1
' '' f (0) f (0) f (0) f (c) f (x) f (0) x x ... x x 1! 2! n! (n 1)!
Công thức (4.6) gọi là công thức Maclaurin.
Nhận xét. Công thức (4.4) cho phép biểu diễn f (x)gần đúng với đa thức
0 0 2 0 n 0 0 0 0
(n) n
' '' f (x ) f (x ) f (x ) P (x) f (x ). x x. x x .... x x 1! 2! n!
ở lân cận điểm x 0 với sai số:
n ^0
(n 1) f (c) n 1 R (x). x x (n 1)!
Ví dụ. i) Khai triển theo công thức Taylor của hàm
3 2 f (x) x 2x 3x 5 tạix 0 2
ii) Khai triển Maclaurin của hàm
x
e đến cấp 3.
b. Bảng các c ng thức Maclaurin của ột số hà sơ cấp cơ bản
m m m(m 1) 2 m(m 1)...(m k 1) k m 1 x 1 x x ... x ... x 1! 2! k!
,m
(^) .
2 n^ n n 1 n 1 n 1
1 1 1 x x ... 1 x 1 x ; 0 1 1 x (^1) x
(^) (^)
2 n n 1 n 1
1 1 1 x x ... x x ; 0 1 1 x (^1) x
(^)
2 n n n 1 (^) n 1 n 1
x x 1 1 ln 1 x x ... 1 1. x ; 0 1 2 n n (^1 1) x
(^)
2 n n 1 n 1
x x 1 1 ln 1 x x .... x ; 0 1 2 n n (^1 1) x
2 n x x x^ x^ x^ e n 1 e 1 ... x ; 0 1 1! 2! n! n 1!
3 5 2n 1 2n x x (^) n 1 x (^) n x sin x x ... 1 1 sin x; 0 1 3! 5! 2n 1! 2n!
2 4 2n 2n 1 x x n x n 1 x cos x 1 ... 1 1 cos x; 0 1 2! 4! 2n! 2n 1!
( 1) 2 ( 1)... k (^1) k ( 1)... n (^1) n n 1 x 1 x x ... x ... x o x 2! k! n!
^ ^ ^ ^ ^ .
Đặc biệt:
1 x 1 x x o x 2 8
và
1 x x o x 1 x 2 8
Ví dụ. Khai triển Maclaurin hàm
3 1 xđến cấp 2. Dùng kết quả khai triển, tính xấp x
3 1,^.
HD:
1 x 1 x x o(x ) 2!
B.ỨNG D NG ĐẠO HÀM T M NGHI M GẦN Đ NG
6 .1. M tả phương pháp
Để áp dụng phương pháp Newton giải gần đúng phương trình f (x) 0 , ta luôn giả thiết
f (x) th a mãn các điều kiện:
' '' f ,f ,f liên tục trên (^) a,b; f (a)f (b) 0 ; mỗi hàm
' '' f ,f đều có
dấu cố định (dương hoặc âm) x a,b; ngoài ra (^) a,blà khoảng phân ly nghiệm.
Có 4 trường hợp liên quan đến các tổ hợp về dấu của
' '' f ,f và xác định nghiệm gần đúng
của phương trình f (x) 0 như sau:
i)
'' ' f 0, f 0 ; ii)
'' ' f 0, f 0 ; iii)
'' ' f 0, f 0 ; iv)
'' ' f 0, f 0.
khi n^ , cụ thể hơn ta có dãy xnđơn điệu giảm tới khi
' '' f f 0 ; và dãy xnđơn điệu
tăng tới khi
' '' f f 0.
Về sai số:
n n
f (x ) x m
, với
'
a x b
0 m min f (x)
6.3. Ví dụ. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình
3 2 f (x) x 2x 4x 7 0 thuộc
3;4^ , với độ chính xác tới^ 0,01.
Ta có:
' 2 f (x) 3x 4x 4 ;
'' f (x) 6x 4 ; f (3) 10 0 ; f (4) 9 0 ;
Dễ thấy
' ''
f 0,f 0 trên 3;4và bài toán th a mãn các điều kiện của phương pháp
Newton.
0 1 0 0
' '
f (x ) f (4) 9 x x 4 4 3, f (x ) f (4)^28
và f (x ) 1 f (3,7) 1,473.
Kiểm tra điều kiện sai số:
1 1
f (x ) x 0, m
với
' 2
a x b 3 x 4
m min f (x) min 3x 4x 4 11
Vì
1 1
f (x ) (^) 1, x 0, m 11
, nên không th a mãn bất đ ng thức trên. Như vậy giá trị
x 1 3,7 chưa th a mãn độ chính xác đặt ra.
x 2
(^2) '
f (3,7) x 3,7 3,7 0,066 3, f (3,7)
2 f (x ) f (3,634) 0,042.
Kiểm tra sai số:
2 2
f (x ) (^) 0, x 0,004 0, m 11
Vậy nghiệm gần đúng của phương trình đã cho là x 2 3,634, th a mãn độ chính xác đặt ra.
Nhận xét :
6 .4. Tó tắt phương pháp: (theo thuật toán)
Bước 1: + Cho phương trình f (x) 0.
' '' f ,f ,f liên tục trên (^) a,b; f (a)f (b) 0 ; mỗi hàm
' '' f ,f
đều có dấu cố định x a,b; (^) a,blà khoảng phân ly nghiệm.
- Ấn định sai số cho phép .
Bước 2: Chọn 0 x là a hoặc b sao cho 0 f (x )cùng dấu với
'' f.
Bước 3: + Tính
0 1 0 0
'
f (x ) x x f (x )
- Nếu e thì kết luận: x 1 , với sai số cho phép .
+ Nếu e^ thì quay lại bước 2.
