MÜHENDİSLİK
MATEMATİĞİ
HAZIRLAYAN
ERSİN SOYBERK
ELEKTRİK . Y . MÜH .
TÜRKİYE ELEKTRİK İLETİM A.Ş KURUMUNDAN EMEKLİ
GAZİ ÜNİVERSİTESİ MÜH.FAKÜLTESİ ELEKTRİK BÖLÜMÜ ESKİ ÖĞRETİM GÖREVLİSİ
2019
Prepare for your exams
Study with the several resources on Docsity
Earn points to download
Earn points by helping other students or get them with a premium plan
Guidelines and tips
Prepare for your exams
Study with the several resources on Docsity
Earn points to download
Earn points by helping other students or get them with a premium plan
Community
Ask the community
Ask the community for help and clear up your study doubts
University Rankings
Discover the best universities in your country according to Docsity users
Free resources
Our save-the-student-ebooks!
Download our free guides on studying techniques, anxiety management strategies, and thesis advice from Docsity tutors
MATHEMATICAL BOOK OF ENGINEERS AND MATHEMATICIANS
Typology: Schemes and Mind Maps
2012/2013
Uploaded on 06/18/2023
unknown user 🇹🇷
1 / 275
This page cannot be seen from the preview
Don't miss anything!
Related documents
Partial preview of the text
Download ENGINEERING MATHEMATICS and more Schemes and Mind Maps Mathematics in PDF only on Docsity!
MÜHENDİSLİK
MATEMATİĞİ
HAZIRLAYAN
ERSİN SOYBERK
ELEKTRİK. Y. MÜH.
TÜRKİYE ELEKTRİK İLETİM A.Ş KURUMUNDAN EMEKLİ GAZİ ÜNİVERSİTESİ MÜH.FAKÜLTESİ ELEKTRİK BÖLÜMÜ ESKİ ÖĞRETİM GÖREVLİSİ
2019
Ö N S Ö Z
Hazırladığım bu ders notu TEİAŞ bünyesinde başlatılan ve Elektrik Mühendisleri için temel eğitim programı kapsamına alınan Mühendislik Mate- matiği dersi için hazırlamış olduğum bu ders notları, bütün konuları kapsayan bir matematik analizi olmaktan ziyade bir elektrik mühendisi için lüzumlu en basit konulardan başlayarak, ileri matematik analizlerini de ihtiva edecek şekilde düzenlenmiştir. Bu maksatla; Elektrik mühendisliğinde, sinüsoidal sürekli hal çözü- münde büyük önemi haiz kompleks sayılar cebri ile devre analizleri için lüzum- lu matrisler ve lineer denklem sistemlerine yer verilmiştir. Sinüsoidal olmayan periyodik fonksiyonlarla uyarılmış devrelerin çözümlerine esas olmak üzere Fourier analizine de kısaca temas edilmiştir. Nihayet, lineer sistemlerin geçici ve sürekli hal çözümlerinin bulunması ve bu sistemlerin analiz ve sentezi için en elverişli metod olan Laplace dönüşümünün tanıtılmasına çalışılmış ve örneklerle takviye edilmiştir. Mühendis meslektaşlarıma faydalı olmasını temenni eder, çalışmala- rında başarılar dilerim. Ankara-kasım-
Ersin Soyberk
Not : Türkiye Elektrik Kurumu Eğitim Dairesinin 1981 yılında düzenlediği elektrik mühendisleri temel eğitim programı için hazırladığım ve anlattığım Mü- hendislik Matematiği ders notları TEK Eğitim Dairesi tarafından bastırılmıştı. Yapılan düzeltmeler ve ilaveler ile bilgisayar ortamında yeniden düzen- lenmiştir. En küçük kareler metodu yardımıyla grafiği verilen bir eğriye üzerin- deki belli birkaç noktasından geçebilecek uygun bir eğrinin uydurulması, Fouri- er serisinin kompleks gösterilimi konuları ilave edilmiş olup, kitabın sonuna da integral tabloları eklenmiştir. Yazılım sırasında yardımlarını esirgemeyen Elekt- ronik Y.müh Ediz Egeli ye de teşekkür ederim. 12. 10. 2019
Ersin Soyberk Elektrik Y. Müh (İ.T.Ü. 1964)
SAYFA
- Sayı kavramı SAYILAR
- Rasyonel sayılar, irrasyonel sayılar
- Reel sayılar
- İmajiner sayılar
- KOMPLEKS SAYILAR
- Tarif ve notasyonlar
- İki kompleks sayının eşitliği
- İki kompleks sayının toplamı
- İki kompleks sayının çarpımı
- İki kompleks sayının bölümü
- Kuvvet alma
- Kök alma
- Kompleks sayının eşleniği
- Çözümlü örnekler
- Tanım CEBİRSEL DENKLEMLER
- Dalembert teoremi
- Newton binomu
- İKİNCİ DERECE DENKLEMİ
- ÜÇÜNCÜ DERECE DENKLEMİ
- İkinci derece terimi bulunmayan üçüncü derece denklemi
- Genel üçüncü derece denklemi
- Üçüncü derece denkleminin grafik yöntemle çözülmesi
- GENEL DÖRDÜNCÜ DERECE DENKLEMİ
- Örnekler
- TRIGONOMETRI
- Tarifler
- Önemli özdeşlikler
- Kompleks gösterilim
- Trigonometrik çember
- Açı toplamları
- İki katlı açılar
- Yarım açı ifadeleri
- m katlı açı ifadeleri
- Trigonometrik toplamlar
- Trigonometrik çarpımlar
- Sinüs teoremi
- Kosinüs teoremi
- Tanjant teoremi
- tg ( α/2 ) cinsinden sin α ve cos α ifadeleri
- Tarif LOGARİTMA
- LOGARİTMA İŞLEMLERİ
- LOGARİTMA SİSTEMLERİ
- LOGARİTMA SİSTEMİNDE TABAN DEĞİŞTİRİLMESİ
- ADİ VE NATUREL LOGARİTMA ARASINDAKİ BAĞINTI
- KOMPLEKS BİR SAYININ LOGARİTMASI
- ÖRNEKLER
- Tarif DETERMİNANTLAR
- Determinant ların açılımı
- Determinant lara ait teoremler
- Örnekler
- Tarifler MATRİSLER
- Matrislere ait işlemler
- Matrislere ait teoremler
- Bir matrisin rank’ı
- Matrislerde bölmeleme
- Örnekler
- Tarif ve ana kavramlar LİNEER DENKLEM SİSTEMLERİ
- Homojen denklem sistemleri
- Homojen olmayan denklem sistemleri
- Cramer kaidesi
- Örnekler
- FONKSİYONLAR - Tanım ve ana kavramlar
- BİR FONKSİYONUN LİMİTİ
- FONKSİYONLARDA SÜREKLİLİK
- FONKSİYON TİPLERİ
- FONKSİYON FONKSİYONU
- TERS FONKSİYONLAR
- y = x n FONKSİYONU
- ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR - y = a x fonksiyonu - Logaritma fonksiyonu
- TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR
- TERS TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR
- ARKUS YAY FONKSİYONLARINA AİT ÖNEMLİ İFADELER
- HİPERBOLİK FONKSİYONLAR - Tarif ve önemli özdeşlikler
- Değişken toplamlarına ait önemli formüller SAYFA
- Hiperbolik fonksiyonların toplam formülleri
- Hiperbolik fonksiyonların çarpım formülleri
- Th (x/2) cinsinden shx ve chx ifadeleri
- Hiperbolik fonksiyonların kompleks ifadeleri
- Hiperbolik fonksiyonların grafikleri
- Ters hiperbolik fonksiyonlar
- Ters hiberbolik fonksiyonlara ait logaritmik bağıntılar
- Ters hiberbolik fonksiyonlara ait önemli ifadeler
- TÜREV
- Tarif
- Türevin geometrik anlamı
- TÜREV ALMAYA AİT KAİDELER
- BAZI ÖNEMLİ FONKSİYONLARIN TÜREVLERİNİN HESABI
- y = x n fonksiyonunun türevi
- Trigonometrik fonksiyonların türevleri
- Ters trigonometrik fonksiyonların türevleri
- Üstel fonksiyonların türevleri
- Logaritmik fonksiyonların türevleri
- Hiperbolik fonksiyonların türevleri
- Ters hiperbolik fonksiyonların türevleri
- Reel değişkenli sanal bir fonksiyonun türevi
- Ardışık türevler, atan ve eksilen fonksiyonlar ve bunlarla ilgili teoremler
- Bir fonksiyonun maksimumu minimumu
- Diferensiyel
- Örnekler
- TAYLOR VE MAC-LAURİN AÇILIMLARI
- Taylor teremi
- Mac-Laurin açılımı
- Sınırlandırılmış açılımlar. sınırlandırılmış açılımlara ait işlemler
- SINIRLI AÇILIMLAR
- ÖRNEKLER
- BELLİ NOKTALARDAN GEÇEN BİR EĞRİYE EĞRİ UYDURMA
- En küçük kareler metodu
- Doğrusal bir eğri uydurma
- İkinci dereceden polinominal bir eğri uydurma
- Üçüncü dereceden polinominal bir eğri uydurma
- Logaritmik bir eğri uydurma
- İNTEGRAL
- Tarif
- İNTEGRASYON KAİDELERİ
- x n ve ( a x+b) n fonksiyonlarının integrali
- 1/x ve 1/ (a x+b) fonksiyonlarının integrali SAYFA
- Üstel ve logaritmik fonksiyonların integrali
- Trigonometrik fonksiyonların integralleri
- Ters trigonometrik fonksiyonların integralleri
- Hiperbolik fonksiyonların integralleri
- Ters hiperbolik fonksiyonların integralleri
- İNTEGRAL ALMA METOTLARI
- Değişken dönüşümü metodu - Örnekler
- Kesirlere ayırma metodu
- Rezidü alma metodu ile katsayıların bulunması
- Basit kesirlerin integrallerinin hesabı
- Örnekler
- sin x,shx,cos x,chx GÖRE RASYONEL OLAN İNTEGRALLER - tg x/2 dönüşümü - Özel bazı dönüşümler - Örnekler - tgh x/2 dönüşümü - Örnekler
- (a x+b) nin kesirli üslerini ihtiva eden integraller
- Binom (iki terimli) integralleri
- İrrasyonel fonksiyonlar için özel dönüşümler - Örnekler
- özel trigonometrik dönüşümler - Örnekler
- BELİRLİ İNTEGRAL - Eğri altındaki alan
- FORİER SERİLERİ
- Tanım
- Dirichlet şartları
- Fourier katsayıları
- BAZI PERİYODİK FONKSİYONLARIN FOURİER AÇILIMLARI - Dikdörtgen dalga - Çift pulse - Destere dişli dalga - Üçgen dalga - Sinüsoidal yarım dalga - Sinüsoidal tam dalga - Örnek problem
- FOURİER SERİSİNİN KOMPLEKS İFADESİ - Örnek
- DİFERENSİYEL DENKLEMLER SAYFA
- Tarif
- Bir diferensiyel denklemin çözümleri - DİFERENSİYEL DENKLEMLER BİRİNCİ MERTEBEDEN x ve y ye GÖRE ÇÖZÜLEBİLEN - 1) Tam diferensiyel denklem ve örnekler - 2) Değişkenlere ayrılabilen diferensiyel denklem ve örnekler - 3) Lineer 2 inci tarafsız diferensiyel denklem ve örnekler - 4) Değişkenlere göre homogen diferensiyel denklemler ve örnekler - 5) Birinci mertebeden lineer diferensiyel denklemler ve örnekler - 6) Bernoulli diferensiyel denklemi ve örnek - 7) Riccati diferensiyel denklemi ve örnek
- YÜKSEK MERTEBEDEN DİFERENSİYEL DENKLEMLER
- Tanım
- n inci mertebeden diferensiyel denklemler
- LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ
- Dönüşümün tanımı
- BASİT FONKSİYONLARIN LAPLACE DÖNÜŞÜMLERİ - 1) Birim basamak fonksiyonu - 2) Üstel fonksiyon - 3) Sinüsoidal fonksiyonlar - 4) t nin pozitif kuvvetlerinin Laplace dönüşükleri - 5) t nin üstel fonksiyonla çarpımının Laplace dönüşükleri - 6) Hiperbolik fonksiyonların Laplace dönüşükleri
- ÇARPIM VE TOPLAMIN LAPLACE DÖNÜŞÜKLERİ
- TÜREVİN LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ
- İNTEGRALİN LPLACE DÖNÜŞÜMÜ - BULUNMASI TÜREVSEL DENKLEMLERDEN LAPLACE DÖNÜŞÜĞÜNÜN
- LAPLACE DÖNÜŞÜĞÜNE AİT TEOREMLER - Laplace dönüşümüne ait teoremlerle ilgili uygulamalar
- LİNEER DİFERENSİYEL DENKLEMİN LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ - Örnek
- PERİYODİK FONKSİYONLARIN LAPLACE DÖNÜŞÜMLERİ - Bazı periyodik fonksiyonların Laplace dönüşükleri - Bazı pulse (darbe) fonksiyonlarının Laplace dönüşükleri
- LAPLACE DÖNÜŞÜM TABLOLARI
- TERS LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ
- Genel rasyonel kesir
- Kesirlere ayırma - a) Birinci mertebeden kutuplar - b) Yüksek mertebeden kutuplar
- Rezidü alma yöntemi SAYFA
- Örnekler
- LAPLACE DÖNÜŞÜMÜNÜN UYGULAMALARI
- Lineer diferensiyel denklemin çözümüne tatbik
- Elektrik devresinin çözümüne tatbiki ve örnekleri
- DEVRE FONKSİYONLARI - TRANSFER FONKSİYONLARI
- Elektrik devrelerinde transfer fonksiyonlarına örnekler
- İNTEGRAL TABLOLARI
1
S A Y I L A R
Sayı kavramı : Matematiğin temelini sayı kavramı teşkil eder. Matematik sa- yılar üzerine kurulmuş bir bilimdir. Tabii sayılar : Sayma ve sıralama ihtiyacı sonucu tabii sayılar dediğimiz tam 1,2,3,….. sayıları ortaya atılmıştır. Ancak bu sayıların ihtiyacı karşılayamaması sonucu, bunlardan başka sayılarında topluluğa ilave edilmesi zarureti doğmuş- tur. Tam sayılar : x+5=3 ve x+1=1 vb gibi cebirsel denklemlerin çözümünü tabii sayılarla ifade etmek mümkün olamadığından, negatif tam sayılar ve sıfırın da sayılar topluluğuna dahil edilmesi gerekmiştir. Böylece, tabii sayılar, negatif tam sayılar ve sıfırı da içine alan 0, ±1,±2, ±3,…sayı topluluğu ortaya çıkmıştır. Bu sayılar topluluğuna tam sayılar denir. Kesirli sayılar : 3x+1=6 vb gibi cebirsel denklemleri çözebilmek için, kesirli sayılar da sayılar topluluğuna dahil edilmişlerdir. İki tam sayının bölümünden elde edilen ve tam sayı olmayan sayılara kesirli sayılar denir. Rasyonel sayılar : Tam sayılar, kesirli sayılar ve sıfırı da içine alan sayı toplu- luğuna rasyonel sayılar denir. Bu durumda 0, ±1,±2, ±3,…sayıları ile pozitif ve negatif kesirli sayılar rasyonel sayılar topluluğunu (kümesini) oluştururlar. p ve q pozitif veya negatif olan birer tam sayı ise, bu iki tam sayının bölümün- den bir rasyonel sayı elde edilir. Burada tek istisna olarak sıfırla bölme yapıla- mamaktadır. Buna göre rasyonel bir sayı, paydası sıfır olmamak şartı ile iki tam sayının bölümü şeklinde tarif edilebilir. İki rasyonel sayıdan dört işlem ile (top- lama, çıkarma,çarpma,bölme yoluyla) gene bir rasyonel sayı elde edilir. İrrasyonel sayılar : İki tam sayının bölünmesiyle bulunamayan √2, 1+√3, π , e gibi sayılar rasyonel sayılar topluluğunda değillerdir. Bu gibi sayılara irrasyonel (rasyonel olmayan ) sayılar denir. Örneğin x^2 −2 =0 cebirsel denklemini rasyo- nel sayılarla çözebilmek mümkün değildir. Bundan dolayı sayılar topluluğuna irrasyonel sayılarında dahil edilmesi zarureti doğmuştur. Rasyonel katsayılı cebirsel bir denklemin çözümünden elde edilebilen sayılara cebirseldir denir. Rasyonel sayıların cebirsel olmalarına karşın irrasyonel sayı- lar içinde cebirsel olmayanlar mevcuttur. İrrasyonel sayıların cebirsel olmayanlarına transandan sayılar denir. π = 3,1415926 , e = 2,7182818 sayıları böyle transandan sayılardır. π sayısı,ras- yonel değildir. Ama π ≈ 22 /7 = 3,142857 şeklinde rasyonel bir sayıya eşit ola- rak alınabilir. Reel sayılar : Rasyonel sayılar ile irrasyonel sayılar topluluğu, reel sayılar kü- mesini oluştururlar. Yönlendirilmiş bir doğru ve üzerinde bir 0 başlangıç noktası alınarak, bu doğru- nun okla gösterilen yönü pozitif kabul edilirse, diğer yönü de negatif olacaktır. Bu doğruya sayı ekseni denir. Başlangıçtan itibaren pozitif ve negatif tarafta ol- mak üzere belli bir ölçekle reel sayılar topluluğu bu sayı ekseni üzerinde göste-
rilebili −
Eksen ve OA de yaln ve yaln ğu yok İmajin lara im herhan baren p Bu eks
−
İmajin mından Reel sa imajine
KOMP
lar den mı şek A Burada ekseni, mek üz denir. düzlem ta ile g Kompl birleşti komple
r =
ir. Şekil 1
− 3 −
üzerindek A = a gibi b nız bir nok nız bir ree ktur. Sayıl er (Sanal) majiner say ngi bir ima pozitif ve sene imajin
−3j −
er sayıları n da j^2 = − ayılar ile i er eksen r
PLEKS SA Reel ve i nir. j = √− klinde göst = a +jb a a ve b re , düşey ek zere tarif e Buna gör m üzerinde gösterilir. leks sayıy irerek elde eks sayını
= A = OA
ki herhang bir reel say kta, karşıt l sayı teka lar eksenin ) sayılar : yılar denir ajiner sayı negatif tar ner eksen
−2j −1j
ın toplamı −1 olduğun imajiner sa eel eksene
AYILAR imajiner k −1 olmak terilir.
eel iki sayı ksen de im edilen düz re bir kom e apsisi a v ( A nokta ya tekabül e edilen O ın modülü
A = √ a^2
O
Şekil gi bir A no yı tekabül olarak da abül eder. ni tamame Negatif b r. ( √−6 , √ ± ja şek rafta olma denir. Şe
Şekil 2
ından gene ndan reel b ayılar birl e dik doğr
kısımları ih üzere bir k
ıdır. Yata majiner eks zleme kom mpleks sayı ve ordinat ası ) Şekil eden a no OA vektörü ü denir. r v
(^2) + b 2
2
oktasına, b eder. He sayılar ek
. Böylece en dolduru bir reel say √−2 gibi) klinde göst ak üzere b ekil 2
1 j 2j
e bir imaji bir sayı el ikte göste rultuda alın
htiva eden kompleks
ay eksen re seni (j) gö mpleks düz ı bu komp ı b olan bi 3 oktasını orj ünün şidde veya A il
bu noktanı r reel sayı kseni üzer reel sayıla urlar. yının kare √−1 = j terilebilir bir eksen ü
3j
iner sayı, i lde edilir. rilmek ist nır.
n sayılara k sayı, reel
eel ster- zlem pleks ir nok-
jine etine le gösteril
A
a
n apsisi ol ıya, sayıla rindeki her ar kümesin
e kökü şek j^2 = − 1
. Sayılar b üzerinde gö
iki imajin
enirse, ayn
kompleks ve sanal i
ir.
larak tanım ar ekseni ü r noktaya nin hiçbir
klinde olan ile gösteri başlangıçta österilebil
er sayının
nı düzlem
(karmaşık iki sayının
Şekil 3
mlanan üzerin- yalnız boşlu-
n sayı- ilirse, an iti- lirler.
J
n çarpı-
mde
k) sayı- n topla-
Komp
A A A a b A
Bunun
r
φ
Kenell
A
Kompl törlerin
Komp
A
A
A
şeklind Bu çar
A
A
A
A
ta pay ve ta
pleks sayıl
A 1 ^ = a 1 + A 2 ^ = a 2 +
A^ = A 1 ^ + = a 1 + a 2 = b 1 + b 2
A^ = a + j
n modülü v
= A =
= arc tan
ly gösterili
(^) = A 1 φ
leks sayıla n vektörel
pleks sayıl
A 1 ^ = a 1 + A 2 ^ = a 2 +
A^ = A 1 ^. de gene bi rpımın mo
A = √ ( a
A 1 = √ a 12 A 1 = √ a 22
A = A 1. A
anφ = (a 1 payda a 1 a anφ 1 = b 1
ların topla
j b 1
j b 2
A 2 ^ = (
ol
b şeklin sayıd ve argüma
√ ( a 1 + a
n [(b 1 + b 2
işinde
φ 1 + A 2
arın toplam toplamıd
ların çarp
- j b 1
- j b 2
A 2 ^ = ( a ir komplek odülü ve a
a 1 a 2 – b 1 b 2
(^2) + b 1 2 (^2) + b 2
2
A 2
b 2 + a 2 b 1 ) a 2 ye bölün /a 1 tan
amı
şeklinde
( a 1 + a 2 )
lmak üzer
nde gene b dır. anı,
a 2 )^2 + (b 1 +
2 ) / ( a 1 +^ a
φ 2 = A 1 e
mı, kompl ır. (Bileşk
pımı
şeklinde
a 1 + j b 1 ). ks sayıdır argümanı,
(^2) + (a 1 b 2
old
bul
/( a 1 a 2 – b nürse, nφ 2 = b 2 /
4
verilen ik
- j ( b 1 +
re
bir komple
- b 2 )^2
a 2 ) ]
e jφ^1 + A 2
leks düzlem kesidir ) Ş
verilen ik
( a 2 + j b 2 .
- a 2 b 1 )^2 =
duğundan,
unur.
b 1 b 2 )
/a 2
ki komplek
b 2 ) ifad
eks
2 e^
jφ (^2) = A
mde bu sa Şekil 4
ki komplek
2 ) = ( a 1 a
= √ ( a 12 +
olduğun
ks sayının
desinden,
Şek
A φ
ayılara tek
ks sayının
a 2 – b 1 b 2 )
- b 12 ). ( a 2
ndan,
toplamı,
kil 4
kabül eden
çarpımı,
- j (a 1 b 2 +
2 (^2) + b 2
n vek-
- a 2 b 1 )
5
b 1 /a 1 + b 2 /a 2 tanφ 1 + tanφ 2 tanφ = = = tan (φ 1 + φ 2 ) 1 – ( b 1 b 2 / a 1 a 2 ) 1 − tanφ 1. tanφ 2
φ = φ 1 + φ 2 elde edilir.
Kompleks sayıların çarpımında modül, çarpılan sayıların modülleri çarpımına, argüman ise, çarpılan sayıların argümanları toplamına eşittir. Kenelly notasyonu ile
A^ = A 1 ^. A 2 ^ = A 1 φ 1. A 2 φ 2 = A 1 .A 2 φ 1 + φ 2 = A 1 .A 2. e j (φ1 +φ2)
şeklinde gösterilebilir. Veya n tane kompleks sayının çarpımı için,
A^ = A 1 ^ .A 2 ^ .. .An= A 1. A 2 ... .An φ 1 +φ 2 + + φn yazılabilir.
İki kompleks sayının bölümü
A 1 ^ = a 1 + j b 1 = A 1 .e jφ^1 = A 1 φ 1 A 2 ^ = a 2 + j b 2 = A 2 .e jφ^2 = A 2 φ 2 şeklinde verilen iki kompleks sayının bölümünün kenelly notasyonu ile
A 1 ^ A 1 φ 1 A 1 A^ = = = φ 1 – φ 2 A 2 ^ A 2 φ 2 A 2
şeklinde olacağı gösterilebilir. Kaide olarak, kompleks sayıların bölümünün modülü, payın modülünün payda- nın modülüne bölünmesiyle bulunacaktır. Bölümün argümanı ise, payın argü- manından paydanın argümanı çıkartılarak elde edilir.
Kuvvet alma
A^ = a + j b = A.e jφ^ = A φ ifadeleri ile verilen bir kompleks sayının n’inci kuvveti için, kompleks sayı n kere kendisi ile çarpılacağından, modüller çarpılacak ve argümanlar da toplanacaktır.
( A^ ) n^ = A φ. A φ ……….. A φ = A n^ n.φ = A n^. e j nφ
( A^ ) n^ = A n^. ( Cos nφ + j Sin nφ ) Moivre formülü denir.
n’inci kuvvetin bulunmasında, modülün n’inci kuvveti,argümanın n katı alınır.
7
A^ / B^ = (1,8 + j 27) / (3,5 – j 6,8) = ( 27,059 .e j 86,185^ ) / ( 7,648 .e –j62,76^ ) = 3,538 .e j148,
B^. Bx^ = (3,5 – j 6,8). (3,5 + j 6,8) = 12,25 + 46,24 = 58,
A^. B^ / C^ = (1,8 + j 27). (3,5 – j 6,8) / (3 + j 4 ) = (6,3 – j 12,24 +j 94,5 +183,6) / (3 + j 4) = (189,9 + j 82,26) / (3 + j 4) = ( 206,95 .ej23,42^ ) / ( 5 .e j53,13) = 41,39 .e j−29,
A^ = √ 8 +j 8 işlemini yapınız. Çözüm : A^ = ( 8 + j 8)^1 /^2 = (11,313 .e j 45^ )^1 /^2 = √11,313 .e j(45 +2kл^ )/n k = 0 ve k =1 değerleri için, A 1 ^ = 3,363. e j(45^ /2)^ = 3,363 .e j 22,5^ = 3,107 + j 1, A 2 ^ = 3,363. e j(45 + 2л)^ /^2 = 3,363 .e j 202,5^ = −3,107 – j 1,287 bulunur.
x^4 + 1 = 0 denkleminin köklerini bulunuz. Çözüm : x^4 = − 1 x = ( √ −1 )^1 /^4 = (√ 1.e j180^ )^1 /^4 = 1 .( e j180^ )^1 /^4 = 1 .( e j( 180 + 2kл)/^4 k = 0 ,1 ,2 ,3 değerleri için, dört kök bulunacaktır.
x 1 = 1 .[ e j( 180^ /4)] = Cos 45 + j Sin 45 = 0,707 + j 0,707 ( k = 0) x 2 = 1 .[ e j( 180 + 2л)^ /4)] = Cos 135 + j Sin 135 = − 0,707 + j 0,707 ( k = 1) x 3 = 1 .[ e j( 180 + 4л)^ /4)] = Cos 225 + j Sin 225 = − 0,707 − j 0,707 ( k = 2) x 4 = 1 .[ e j( 180 + 6л)^ /4)] = Cos 315 + j Sin 315 = 0,707 − j 0,707 ( k = 3)
- Seri bir RLC devresinde R =10Ω , L = 5mH , C = 200μF dır. Devreye tatbik edilen gerilim E = 200 0 Volt ve ω = 3600 rad/sn dir. Sürekli halde devreden geçecek akımı bulunuz. Çözüm : xL^ = jωL = j 3600.5.10−^3 = j 18 Ω xC^ = − j ( 1/ ωC) = − j ( 1/ 3600.200.10−^6 ) = − j 1,3889 Ω Z^ = R + j ( xL + xC) = 10 + j ( 18 – 1,3889) = 10 + j 16,61 Ω Z = √ 102 + 16,61^2 = 19,39 Ω φ = arc tan (16,61 / 10) = 58,95^0 Z^ = 19,39 58,95^0 = 19,39 .e j 58, Devreden geçecek akım
E^200 I^ = = = 10,31 − 58,95 A dir. Z^ 19,39 58, Devreden geçecek akımın değeri 10,31 A olup, gerilimden 58,95^0 geridedir.
8
- Problem : 50 km uzunluğundaki bir enerji iletim hattının eşdeğer devresi şekil 6 da verilmiştir. Hattın sonundaki faz arası gerilimi 66 kV dur. 8 MW lık güç 0,8 endüktif güç katsayısı ile hattın sonundan çekilmektedir. Hatbaşı gerilimini bulunuz. Hattın omik direnci 0,55 Ω /km ve reaktansı 0,4 Ω /km dir. Hattın toprağa nazaran kapasitesi ihmal edilecektir.
Şekil 6 Çözüm : Hattan çekilen akım I = P / √3. U. Cosφ = 8. 10^6 / √3. 66. 10^3. 0, I = 87,477 A Cosφ = 0,8 φ = 36,869^0 dir. Yük endüktif olduğundan akım gerilimden geride olup φ negatif alınacaktır.
I^ = 87,477 − 36,869^0 Hat sonu gerilimi 66.10^3 Vs^ = 0 = 38105 0 V (Faz toprak arası) √ 3 Hattın empedansı Z^ = ℓ.( R 0 + j X 0 ) = 50 .( 0,55 + j 0.4) = 27,5 + j 20 = 34 360
Hat başı gerilimi : Hat sonu gerilimine hattaki gerilim düşümü ilave edilerek bulunacaktır. Vb^ = Vs^ + Z^. I^ = 38105 .e j 0^ + 34 .e j 36^. 87,477 .e j−^ 36, Vb^ = 38105 .e j 0^ + 2974,22 .e j – 0, Vb^ = 38105 .( Cos 0 + j Sin 0) + 2974,22 .[ Cos( −0,869) + j Sin( −0,869)] Vb^ = 38105 + 2973,88 – j 45,108 = 41078,88 − j 45, Vb^ = 41078,90 −0,06^0 V Hat başı geriliminin faz arası değeri ise, Ub^ = √3. Vb^ = √3. 41078,90 −0,06^0 = 71150,74 −0,06^0 V
10
İKİNCİ DERECE DENKLEMİ VE ÇÖZÜMÜ
Genel ikinci derece denklemi a,b,c katsayıları reel veya kompleks olmak üzere a x^2 + b x + c = 0 biçimindedir. Bunun çözümü için birinci derece terimini yok edebilecek bir dönüşüm arayalım ve x = Z +k gibi lineer bir dönüşüm yaparak bunu denklemde yerine koyalım. a (Z +k)^2 + b ( Z+k) +c = a Z^2 ( 2 a k +b ) Z + a k^2 + b k + c = = 2 a k + b = 0 k = − b /2 a olursa birinci derece teriminin katsayısı sıfır olur. Böylece uygun dönüşüm x = Z – b/2a olmaktadır. Bu dönüşümü yaparak denklemi çözmek için, denklemde x yerine – b/2a koya- lım. a ( Z – b/2a)^2 + b ( Z – b/2a) + c = 0 a Z 2 + b^2 / 4a − b^2 /2a + c = 0 b^2 − 4 a c √ b^2 − 4 a c Z 2 = Z (^) 1,2 = ± bulunur. 4 a^2 2 a Bunu dönüşüm ifadesinde yerine koyarak,
√ b^2 – 4 a c b x (^) 1,2 = ± − 2 a 2 a
− b ± √ b^2 – 4 a c x (^) 1,2 = elde edilir. 2 a
∆ = b^2 − 4 a c ye diskriminant denir
- ∆ > 0 ise, bu ikinci derece denkleminin reel iki kökü mevcuttur.
- ∆= 0 ise x 1 = x 2 = − b/2 a olmak üzere üst üste çakışık tek kök mevcuttur. (iki katlı kök)
- ∆<0 ise kökler reel olmayıp eşlenik komplekstir.
Katsayılarla kökler arasındaki bağıntılar Kökleri toplamları ve çarpımları yapılırsa, Köklerin toplamı x 1 + x 2 = − b /a
Köklerin çarpımı x 1. x 2 = c /a
11
ÜÇÜNCÜ DERECE DENKLEMİ VE ÇÖZÜMÜ
ikinci derece terimi bulunmayan üçüncü derece denklemi p ve q reel sabitler olmak üzere, ikinci derece terimi bulunmayan üçüncü derece denklemi, x^3 + p x + q = 0 olsun. x = α + β denirse, x^3 = α^3 +3α^2 β + 3αβ^2 + β^3 olacağından üçüncü derece denkleminde yerine konacak olursa, α^3 + β^3 + 3αβ ( α +β) + p ( α + β) + q = 0 α^3 + β^3 + ( α +β) (3αβ+ p) + q = 0 denklemi elde edilir. 3 αβ + p = 0 dan αβ = − p/3 dönüşümü yapılırsa üçüncü terim sıfır ola- cağından, α^3 +β^3 = − q αβ = − p/3 denklemleri elde edilir. α^3 = u β^3 = v diyerek, u +v = α^3 + β^3 = − q uv = (αβ)^3 = (−p/3)^3 = −p^3 /27 olur. Bu iki denklemden u ve v çözülürse, v = −u –q uv = u (−u – q) = −p^3 /27 buradan u^2 + qu – p^3 /27 = 0 elde edilir. Bu ikinci derece denkleminin çözümünden ,
u = − q/2 + √ q^2 /4 + p^3 / v = − q/2 − √ q^2 /4 + p^3 /27 bulunur. α = u^1 /^3 β = v^1 /^3
3 3 α = √ − q/2 + √ q^2 /4 + p^3 /27 β = √ − q/2 − √ q^2 /4 + p^3 / elde edilir.
1’in küp kökleri (1)^1 /^3 = 1 , (− 1/2 + j √3 /2) , (− 1/2 − j √3 /2) olduğundan, α 1 = α β 1 = β α 2 = (− 1/2 + j √3 /2) α β 2 = (− 1/2 − j √3 /2) β α 3 = (− 1/2 − j √3 /2) β 3 = (− 1/2 + j √3 /2) β olarak elde edilirler. Buna göre,
3 α = √ − q/2 + √ q^2 /4 + p^3 / 3 β = √ − q/2 − √ q^2 /4 + p^3 /27 olmak üzere kökler
x 1 = α + β x 2 = − ( α + β) /2 + j √3 /2 ( α – β) ifadelerinden hesaplanır. x 3 = − ( α + β) /2 − j √3 /2 ( α – β) (Cardan formülleri)