Study with the several resources on Docsity
Earn points by helping other students or get them with a premium plan
Prepare for your exams
Study with the several resources on Docsity
Earn points to download
Earn points by helping other students or get them with a premium plan
Community
Ask the community for help and clear up your study doubts
Discover the best universities in your country according to Docsity users
Free resources
Download our free guides on studying techniques, anxiety management strategies, and thesis advice from Docsity tutors
ENGİNERİNG ECONOMOCİS MÜHENDİSLİK EKONOMİSİ
Typology: Study notes
1 / 25
This page cannot be seen from the preview
Don't miss anything!
X bağımsız değişkeni ile Y bağımlı değişkeni arasındaki doğrusal ilişki:
Y = a + bX
Denklemin parametreleri (a ve b) bulunduktan sonra X değişkeninin alacağı değer
bilindiği takdirde Y değişkeninin alacağı değer kolaylıkla tahmin edilebilir.
Denklem parametreleri için aşağıdaki eşitlikler kullanılır.
b =
n ∑ X
୧
୧
୧
୧
୬
୧ୀଵ
୬
୧ୀଵ
୬
୧ୀଵ
n ∑ X
୧
୬
୧ୀଵ
ଶ
୧
୬
୧ୀଵ
ଶ
a =
୧
− b
୧
୬
୧ୀଵ
୬
୧ୀଵ
n
Doğru denkleminin korelasyon katsayısı aşağıdaki denklemle hesaplanır.
r =
୧
୧
୬
୧ୀଵ
୧
ଶ
୬
୧ୀଵ
୧
ଶ
୬
୧ୀଵ
Basit doğrusal regresyon yönteminde X ile Y değişkenleri arasında kurulan doğrusal
ilişkinin ne kadar güçlü/zayıf olduğunu korelasyon (ilişki) katsayısı (r) gösterir.
Determinasyon (belirleme) katsayısı (r
2
) ise Y'deki değişmelerin ne kadarının X'deki
değişmelerden kaynaklandığını gösteren ve 0 ile 1 arasında değerler alabilen bir
büyüklüktür. Belirleme katsayısı, basit bir şekilde, korelasyon katsayısının karesi
alınarak bulunabilir.
Belirleme katsayısı (r
2
) 0.75'den büyük olan regresyon modelleri genellikle başarılı
sayılmaktadır.
Örnek Problem 1.1. (0,4), ((1,8), (2,10), (3,13), (4,15) veri noktaları için uygun doğru
denklemini belirleyiniz ve grafiğini çiziniz. Korelasyon ve belirtme katsayılarını
belirleyiniz. Sonucu yorumlayınız.
Xi 0 1 2 3 4
Yi 4 8 10 13 15
Çözüm 1.1.
Denklem katsayılarının hesabındaki terimler ayrı ayrı hesaplanarak denklemde yerine
konur.
ୀଵ
ୀଵ
ଶ
ଶ
Doğru denklemi ilişkiyi başarılı bir şekilde temsil eder.
Örnek Problem 1.2. Polyester dökümü yapan bir işletme dökümde kullandığı bir
katılaştırıcı ile dökümün erken kurumasını sağlamak istemektedir. Yapılan 10 deney
sonucu kullanılan katılaştırıcı miktarı ile kuruma süresi verileri aşağıdaki tabloda
verilmiştir. Katılaştırıcının kuruma üzerinde etkili olup olmadığını değerlendiriniz.
SN Katılaştırıcı miktarı (g) (Xi) Katılaşma süresi (dak) (Yi)
1 5 15
2 6 13
3 7 12
4 8 10
5 9 10
6 10 10
7 11 10
8 12 10
9 13 10
10 14 10
Çözüm 1.2.
Denklemlerde kullanılan parametrelerin hesabı tablo ile düzenlenebilir.
SN Xi Yi Y' (XiYi) Xi2 Yi2 (Xi-Xo) (Yi-Yo) (Xi-Xo)(Yi-Yo) (Xi-Xo)2 (Yi-Yo)
1 5 15 13,07 75 25 225 - 4,5 4,0 - 18 20,25 16
2 6 13 12,61 78 36 169 - 3,5 2,0 - 7 12,25 4
3 7 12 12,15 84 49 144 - 2,5 1,0 - 2,5 6,25 1
4 8 10 11,69 80 64 100 - 1,5 - 1,0 1,5 2,25 1
5 9 10 11,23 90 81 100 - 0,5 - 1,0 0,5 0,25 1
6 10 10 10,77 100 100 100 0,5 - 1,0 - 0,5 0,25 1
7 11 10 10,31 110 121 100 1,5 - 1,0 - 1,5 2,25 1
8 12 10 9,85 120 144 100 2,5 - 1,0 - 2,5 6,25 1
9 13 10 9,39 130 169 100 3,5 - 1,0 - 3,5 12,25 1
10 14 10 8,93 140 196 100 4,5 - 1,0 - 4,5 20,25 1
Top. 95 110 110,00 1007 985 1238 0 0 - 38 82,5 28
Ort. 9,5 11,
b= - 0,
a= 15,
r= - 0,
r2= 0,
b =
n
୧
୧
୧
୧
୬
୧ୀଵ
୬
୧ୀଵ
୬
୧ୀଵ
n
୧
୬
୧ୀଵ
ଶ
୧
୬
୧ୀଵ
ଶ
b =
10 x 1007 − 95 x 110
ଶ
a =
୧
− b
୧
୬
୧ୀଵ
୬
୧ୀଵ
n
a =
Regresyon denklemi:
Korelasyon katsayısı:
r =
୧
୧
୬
୧ୀଵ
୧
ଶ
୬
୧ୀଵ
୧
ଶ
୬
୧ୀଵ
.ହ
Belirtme katsayısı:
ଶ
ଶ
Katılaştırıcının kuruma süresinde etkili olduğu görülmektedir.
Grafik:
Grafikte, katılaştırıcının 8 g miktarından sonra kuruma süresi üzerinde etkili olmadığı
görülmektedir.
Bu sonuçlara bakarak ilgili mühendis hangi oranda katılaştırıcı kullanacağına karar
verirken katılaştırıcının maliyetini, kullanım güçlüklerini vb. dikkate alacaktır.
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Katılaşma süresi (dak)
Katılaştırıcı (g)
Yi Y'
2020 yılında Xi = 16 olacaktır.
Buna göre 2020 yılı için muhtemel su sayacı talebi:
ଶଶ
= 5180 + 745. 45 x 16
ଶଶ
= 17107 adet
2020 yılında su sayacı talebi 17107 olup, işletmenin üretmeyi düşündüğü 18000 adetten
daha düşüktür. Bu değerlere göre işletme bu projeden uygulamayacaktır. Ancak, başkaca
faktörlerin etkisi ile işletme kararı farklı olabilir.
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014
Talep miktarı (adet
)
Yıllar
Y
i
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
2005200620072008200920102011201220132014201520162017201820192020
Talep miktarı (adet
)
Yıllar
Yi Y'
2.1. Nakit Akım Şemaları
Kredi, kiralama, tahvil, bono veya benzeri ticari ilişkilerde ödemelerin nasıl yapılacağını
gösteren bir ödeme planı hazırlanır. Ödeme planı alternatifleri aşağıdaki şekillerde
olabilir:
Anapara ve faiz sözleşme sonunda ödenebilir.
Anapara sözleşme sonunda ve faizler her yıl ödenebilir.
Anapara ve faizler eşit taksitler halinde her yılın sonunda ödenir.
Anapara her yıl eşit taksitler halinde faizleriyle birlikte ödenebilir.
Anapara sözleşme dönemi ortasında ve sözleşme sonunda olmak üzere iki
taksitte ve faizler her altı ayda bir ödenebilir.
Paranın zaman değerini içeren problemlerde, nakit akımlarının durumu nakit akım
şemalarıyla gösterilebilir. Nakit akım şemalarında yatay eksen zamanı, üstündeki oklar
ilgili zaman dilimi sonunda doğacak nakit akımlarını gösterir. Aynı şekilde ara ödemeler
ve peşin ödemeler de şemaya eklenir.
Nakit akım şemasında üst oklar gelirleri ve alt oklar ödemeleri gösterir. Bir okta birden
çok nakit girişi ve çıkışı bulunabilir. Bunlar hesaplara ayrı ayrı dahil edilebileceği gibi,
toplamları da esas alınabilir ve her iki halde de sonuç değişmez.
Nakit akım serileri beş grupta incelenebilir:
a) Basit nakit akımları serisi
P gibi bir miktarın % i faiz oranı üzerinden n yıl (m dönem) sonundaki F değerinin
hesaplanmasını kapsar.
F = P ( 1 + i)
୬
Şekil 2.1. Basit nakit akımları serisi
b) Yeknesak nakit akımları serisi
Bir seride nakit giriş veya çıkışları n yıl (m dönem) boyunca A gibi eşit miktarlar halinde
gerçekleşir. Kiralama, tahvil ihracı, eşit taksitler halinde borçlanma ödemesi vb. bu
serilere uyar.
Şekil 2.2. Yeknesak nakit akımları serisi
Örnek Problem 2.1. METMAL işletmesi BANK bankasından %12 faizli, 5 yıl vadeli
300000 TL makina kredisi kullanmıştır. İşletmenin vade sonunda ödeyeceği borç
miktarını hesaplayınız. Grafikte gösteriniz.
Çözün 2.1.
1 + i
୬
ହ
İşletme vade bitiminde (5 yıl sonunda) 528702.5 TL borç ödeyecektir.
Örnek Problem 2.2. METMAL işletmesi döküm atölyesinde genişletme çalışması
yapacaktır. Yenileme maliyeti 400000 TL ve işletmenin getiri oranı %15 ise, işletme şu
anda bu yatırım için ne kadar para ayırmalıdır?
Çözüm 2.2.
1 + i
୬
ସ
İşletme 4 yıl sonra planladığı 400000 TL’lik yatırımın karşılığında mevcut koşullara göre
bugünden 228701 TL ayırmalıdır.
Örnek Problem 2.3. METMAL şirketi birinci yıl 100000 TL, ikinci yıl 300000 TL, üçüncü
yıl 200000 TL, dördüncü yıl 400000 TL ve beşinci yıl 500000 TL harcayarak takı üretimi
yapan bir tesis kuracaktır. Sermaye maliyeti % 14’dür. Nakit akım şemasını çiziniz.
Şirket harcamalarının 5. yılsonu ve bugünkü değerini hesaplayınız.
Çözüm 2.3.
İşletme yatırımının 5 yıl sonraki değeri:
F = 100000
( 1 + 0. 14
)
ସ
( 1 + 0. 14
)
ଷ
( 1 + 0. 14
)
ଶ
( 1 + 0. 14
)
ଵ
İşletme harcamalarının 5 yıl sonraki maliyeti 1829279 TL’dir.
Yatırımın bugünkü değeri:
( 1 + i)
୬
ହ
Normalde işletme harcamalarının toplamı:
2.3. Basit Faiz Hesabı
Örnek Problem 2. 6. Basit Faiz Tutarı
Bir dairesi olan vatandaşa 2013 yılı sonunda tahakkuk ettirilen 500 TL emlak vergisini
zamanında ödememiştir. Ödemeyi %23 basit faiz oranı ile 2016 yılı sonunda yapacak
olan vatandaşın yapması gereken toplam ödeme tutarını ve faiz tutarını hesaplayınız
Çözüm 2.7.
Ödeme 3 yıl sonra yapılmış olacaktır.
n = 3
i = % 23
Basit faiz denklemi:
1 + i n
Toplam ödenecek tutar:
F = 500 ( 1 + 0 , 23 x 3 ) = 845 TL
Faiz tutarı:
Örnek Problem 2.8. Vade Süresi
Bir kişi 100000 TL borcunu vadesinde ödemeyerek, %20 faizle 250000 TL ödemek
durumunda kalmıştır. Borçlunun borcunu ne kadar geciktirdiğini basit faiz üzerinden
hesaplayınız.
Çözüm 2.8.
Basit faiz bağıntısı:
F = P ( 1 + i n)
olup, bu bağıntıdan n (süre, yıl) çekilerek yeni bağıntı oluşturulur.
n =
P i
= 7. 5 yıl
Örnek Problem 2.9. Basit Faiz Oranı
Bir işletme bankadan basit faizle kullandığı 200000 TL kredi için 5 yıl sonunda 400000
TL ödeme yapmıştır. Kullanılan krediye uygulanan faiz oranını hesaplayınız.
Çözüm 2.9.
1 + i n
i =
P n
Örnek Problem 2.10. Basit Faiz ve Faiz Tutarı
Bir kişi tazminat cezasını 4 yıl sonra 12000 TL olarak ödemiştir. Cezaya %25 basit faiz
uygulandığı bilinmektedir. Kişi borcun zamanında ödeseydi ne kadar ödeme yapacaktı?
Kişi ne kadar faiz ödemiştir?
Çözüm 2.10.
Zamanında ödenmesi gereken tutar:
1 + i n
1 + 0 , 25 x 4
Ödenen faiz tutarı:
Çözüm 2.14.
F = P ( 1 + i)
୬
denkleminde gerekli dönüşümler yapılarak (logaritması alınarak üssel fonksiyondan
arındırılır) vade için
log ܨ − logܲ
log
veya
n =
log(F/P)
log( 1 + i)
elde edilir.
n =
log( 800000 ) − log( 405500 )
log
= 6 yıl
Örnek Problem 2.15. Nominal ve reel faiz
Bir banka kredi kartlarına aylık % 2.52 faiz uygulamaktadır.
Bu faizin yıllık nominal ve reel faizini hesaplayınız.
Cevap 2.15.
Nominal faiz:
b = i ୫
m
Reel faiz:
i =
1 + i
୫
୫
i =
ଵଶ
Örnek Problem 2.16. Dönem faizi
METMAL şirketi ŞOKbank’tan %15 faizle ve 10 yıl vadeli 500000 TL kredi kullanmıştır.
Yıllık, altı aylık, üç aylık, aylık, haftalık, günlük dönemlerle devamlı bileşik faiz
uygulamaları halinde ödenecek kredi borcunu hesaplayınız.
Çözüm 2.16.
Yıllık:
୷న୪
= P ( 1 + i)
୬
୷న୪
ଵ
Altı aylık (m = 12/6 = 2):
Bir yıl içinde birden çok dönemde (m) faiz hesaplaması durumunda F için aşağıdaki
eşitlik kullanılır.
b
m
୫୬
Benzer şekilde P için de aşağıdaki eşitlik kullanılır.
Buna göre 6 aylık dönem için F değeri:
Altı aylık (m = 12/6 = 2)
ୟ୷
b
m
୫୬
ୟ୷
ଶ୶ଵ
Üç aylı dönem için F değeri:
Üç aylık (m = 12/3 = 4)
ଷ௬
ସ∗ଵ
Aylı dönem için F değeri:
Aylık (m = 12/1 = 12)
ୟ୷
ଵଶ∗ଵ
Haftalık dönem için F değeri:
Haftalık (m = 52/1 = 52)
୦ୟ୲ୟ
ହଶ∗ଵ
Günlük dönem için F değeri:
Günlük (m = 36 0 /1 = 36 0 )
ü୬
ଷ∗ଵ
Burada m faiz hesaplama dönemini, b nominal faizi göstermektedir.
Aynı hesaplar reel faiz
eşitliğinden hesaplandıktan sonra
Örnek Problem 2.20. Depozitolu Faiz Oranı
Bir banka kullandırdığı kredinin %12’ini hesapta tutma koşulu ile kredi
kullandırmaktadır. Banka kredisi % 16 ise, bu kredinin reel faizi ne olur?
Çözüm 2.20.
i =
b
1 − s
i =
Örnek Problem 2.21. Peşin Faiz Oranı
METMAL şirketi bankadan 1 yıl vade ve % 20 faizle kullandığı 200000 TL’lik kredinin
faizi peşin olarak kesilmiştir. Reel faizi hesaplayınız.
Çözüm 2.21.
P = F – f = 200000 – 0.20 x 200000 = 160000 TL
i =
Mühendislik ekonomisi çalışmalarında formüllerin arka arkaya yazılması bazen
karışıklık meydana getirmektedir. Bu sebeple formülleri sistematik olarak ifade edecek
notasyonların kullanılması problemin tasarımı konusunda kolaylıklar sağlar.
Örneğin,
1 + i
୬
denkleminde, belirli bir para miktarının P, % i faiz oranı üzerinden n yıl sonra ulaşacağı
F değerinin arandığı görülmektedir. Bu denklem notasyonla aşağıdaki gibi ifade
edilebilir:
F/P, %i, n
Bu denklemin anlamı; % i faiz oranı üzerinden n yıl için verilen P tutarındaki bir paranın
gelecekteki F değerinin bulunması demektir. F/P demek, P verildiği zaman F değerini
hesapla anlamında kullanılmaktadır. Diğer bir ifade ile birinci terim aranan, ikinci terim
istenendir. Örneğin, P = 100000 TL, i = % 30, n = 10 yıl ise;
ଵ
Notasyonlar:
݅ : Etkin faiz oranı
݊ : Vade sayısı
ܲ : Paranın şimdiki zaman değeri (Bir veya daha fazla sayıda nakit akışının şimdiki
zaman değeri)
ܨ: Paranın gelecek zaman değeri (Bir veya daha fazla sayıda nakit akışının gelecek
zaman değeri)
ܣ: Vade sonu nakit akışı (Bir vadenin sonundan belirlenmiş bir vade sayısı boyunca her
bir vade sonu oluşan eşit nakit akışı).
F/P, %i, n
= P miktarındaki paranın %i ve n yıl sonraki F değeri
P/F, %i, n
= F miktarındaki paranın %i ve n yıl önceki P değeri
(A/P, %i, n) = P miktarındaki paranın %i ve n yıl için A değeri
(P/A, %i, n) = A miktarındaki paranın %i ve n yıl için P değeri
A/F, %i, n
= F miktarındaki paranın %i ve n yıl için A değeri
F/A, %i, n
= A miktarındaki paranın %i ve n yıl için F değeri
Tablo 3.1. Bileşik faiz formülleri ve sembollerle gösterimi
SN İstenen Verilen Formül Gösterim Açıklama
1 F P F = P
( 1 + i
)
୬
( F/P, %i, n
)
2 P F
P = F
1
( 1 + i
)
୬
( P/F, %i, n
)
3 A P A = P
i ( 1 + i)
୬
( 1 + i)
୬
− 1
(ܣ/ܲ , %i, n)
4 P A P = A
( 1 + i
)
୬
− 1
i
( 1 + i
)
୬
( ܲ /ܣ, %i, n
)
5 F A
F = A
( 1 + i)
୬
− 1
i
(F/A, %i, n)
6 A F A = F
i
( 1 + i
)
୬
− 1
(A/F, %i, n)
Örnek Problem 2.22. 1 Nolu durum / Gelecek değer
Bugünkü değeri 1000 TL olan paranın %10 faizle gelecek yılki değeri ne olur?
Çözüm 2.22.
1 + i
୬
