Download đề mẫu môn giải tích and more Exercises Vector Analysis in PDF only on Docsity!
HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG
KHOA CƠ BẢN 1
BỘ MÔN TOÁN
ĐỀ MINH HỌA THI HẾT HỌC PHẦN
Môn: Giải tích 2
Số lượng câu hỏi: 40 câu
Thời gian làm bài: 80 phút
Họ và tên sinh viên:....................................... Số báo danh:......... Mã đề thi 107
Lưu ý: Sinh viên không được sử dụng tài liệu.
Câu 1. Cho hàm f (x, y) =
xy sin x
x
2
2
nếu (x, y) , (0, 0)
0 nếu (x, y) = (0, 0)
. Đặt L = lim
(x,y)→(0,0)
f (x, y). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Không tồn tại lim
(x,y)→(0,0)
f (x, y). B. L = ∞.
C. L = 2. D. L = 0.
Câu 2. Cho hàm số u = e
2 x+ 3 y sin 2z. Khẳng định nào dưới đây về đạo hàm riêng cấp n ∈ N
∗ là đúng?
A. u
(n)
x
n− 2 yz
n− 2 e
2 x+ 3 y cos2z. B. u
(n)
x
n− 3 yz
2
n− 1 e
2 x+ 3 y sin2z.
C. u
(n)
x
n− 1 z
n e
2 x+ 3 y cos 2z. D. u
(n)
x
n− 1 z
n e
2 x+ 3 y sin 2z.
Câu 3. Cho I =
S
x
3 dydz + y
3 dzdx + z
3 dxdy, với S là mặt ngoài của nửa trên mặt cầu bán kính R có phương trình
x
2
2
2 = R
2 ; z ≥ 0. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. I =
6 π
R
5
. B. I =
2 π
R
5
. C. I =
π
R
5
. D. I =
3 π
R
5 .
Câu 4. Tính Φ =
S
zdxdy; trong đó S là mặt ngoài của mặt cầu có phương trình x
2
2
2 = 9. Khẳng định nào sau
đây đúng?
A. Φ = 27 π. B. Φ = 36 π. C. Φ = 33 π. D. Φ = 81 π.
Câu 5. Cho các hàm số f (x, y) = xy và g(x, y) = cos(xy). Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
∂g
∂x
∂g
∂y
∂ f
∂x
∂ f
∂y
sin(xy). B.
∂g
∂x
∂g
∂y
∂ f
∂x
∂ f
∂y
cos(xy).
C.
∂g
∂x
∂g
∂y
∂ f
∂x
∂ f
∂y
cos(xy). D.
∂g
∂x
∂g
∂y
∂ f
∂x
∂ f
∂y
sin(xy).
Câu 6. Tính tích phân I =
C
(3x + y)ds, với C là tam giác với các đỉnh O(0, 0); A(1, 0); B(0, 1). Khẳng định nào sau đây
đúng?
A. I = 2(
2 + 1). B. I = 2
2 + 1. C. I = 2
2 − 1. D. I =
Câu 7. Tính thể tích V của hình giới hạn bởi các mặt có phương trình: x = 0 , y = 0 , z = 0 , x + y = 3 , x + y − z = 0. Khẳng
định nào sau đây đúng?
A. V = 6. B. V =
. C. V =
. D. V = 9.
Câu 8. Chuyển I =
D
(x
2 − y
2 )dxdy; D = {(x, y)
∣ (^0) ≤ x − y ≤ 1; 0 ≤ x + y ≤ 2 } về tích phân lặp bằng cách đổi biến x + y = u
, x − y = v. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. I =
2 ∫
0
du
1 ∫
0
(u − v)dv. B. I =
2 ∫
0
du
1 ∫
0
uvdv. C. I = 2
1 ∫
0
du
2 ∫
0
(u
2
− v
2
)dv. D. I = 2
1 ∫
0
dv
2 ∫
0
(u + v)du.
Câu 9. Cho hàm số u = x
3
3
3 − 3 xyz và điểm M(1; −1; 1). Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
grad u(M) = (6; 0; −6). B.
grad u(M) = (0; 2; 6). C.
grad u(M)
2. D.
grad u(M) = (6; 2; 0).
Câu 10. Cho hàm f (x, y) = ln 4(x + y). Khẳng định nào sau đây không đúng?
A. f
′′
xx
= f
′′
yy
. B. f
′
x
= f
′
y
. C. y f
′
x
′
y
= 1. D. x
2 f
′′
xx
2 f
′′
yy
Câu 11. Cho hàm f (x, y) khả tích trong miền đóng và bị chặn D. Khẳng định nào sau đây không đúng?
A. D :
a ≤ x ≤ b
ϕ 1
(x) ≤ y ≤ ϕ 2
(x)
D
f (x, y)dxdy =
b ∫
a
ϕ 2 (x) ∫
ϕ 1 (x)
f (x, y)dy
dx.
B.
D
f (x, y)dxdy ≥ 0 ⇒ f (x, y) ≥ 0 , ∀(x, y) ∈ D.
C.
D
dxdy = S; S là diện tích của miền D.
D. D :
c ≤ y ≤ d
ϕ 1 (y) ≤ x ≤ ϕ 2 (y)
D
f (x, y)dxdy =
d ∫
c
ϕ 2 (y) ∫
ϕ 1 (y)
f (x, y)dx
dy.
Câu 12. Cho hàm số f (x, y) =
xy
8 − x
2 − y
2
, gọi D f
là miền xác định của f. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. D
f
= {(x, y) ∈ R
2
∣ (^) x
2
2 ≥ 8 }. B. D f
= {(x, y) ∈ R
2
∣ (^) x
2
2 < 8 }.
C. D (^) f = R
2
. D. D (^) f = {(x, y) ∈ R
2
∣ (^8) − x
2 − y
2 ≥ 0 }.
Câu 13. Cho u = u(x, y), v = v(x, y) là các hàm số ẩn xác định từ hệ:
x
3 u
2 = y + x
2 y − u = x − 2 v
2
Biết rằng u(1, 0) = 1 , v(1, 0) = 1 , tính du(1, 0), dv(1, 0). Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. du(1, 0) = −dx −
dy, dv(1, 0) = −
dy. B. du(1, 0) = −dx +
dy, dv(1, 0) = −
dy.
C. du(1, 0) = dx −
dy, dv(1, 0) =
dy. D. du(1, 0) = −dx +
dy, dv(1, 0) = −
dy.
Câu 14. Chuyển tích phân I =
D
f (x, y)dxdy sang tọa độ cực ta được I =
π/ 2 ∫
π/ 4
dϕ
2 cos ϕ ∫
0
dr. Tìm hàm f (x, y) và miền lấy tích
phân D. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. f (x, y) =
x
2
2 ; D =
(x, y)
∣ (^) x
2
2 ≤ 2 x; y ≥ x
. B. f (x, y) =
x
2
2
; D =
(x, y)
∣ (^) x
2
2 ≤ 2 x; y ≥ x
C. f (x, y) =
x
2
2
; D =
(x, y)
∣ (^) x
2
2 ≥ 2 x; y ≤ x
. D. f (x, y) =
x
2
2 ; D =
(x, y)
∣ (^) x
2
2 ≥ 2 x; y ≤ x
Câu 15. Tính diện tích S của mặt cầu x
2
2
2 = 4 a
2 , z > 0 nằm trong hình trụ x
2
2 = a
2 với a là hằng số dương.
Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. S = 8
3 πa
2
. B. S = 2 πa
2 (
3 + 1). C. S = 4 πa
2 (
3 − 1). D. S = 4 πa
2 (2 −
Câu 16. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình y
′′
- 9 y = 18 x. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. y = (C 1
x + C 2
)e
3 x
, C
2
là hai hằng số tùy ý.
B. y = C 1 cos 3x + C 2 sin 3x + 6 x; C 1 , C 2 là hai hằng số tùy ý.
C. y = C 1 cos 3x − C 2 sin 3x + 2 x; C 1 , C 2 là hai hằng số tùy ý.
D. y = C 1
e
3 x
e
− 3 x
, C
2
là hai hằng số tùy ý.
Câu 17. Cho I =
D
(x + y)dxdy, với D =
(x, y)
∣ x
2
2 ≤ 1 , y ≥ 0
. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. I =
. B. I =
. C. I =
. D. I =
Câu 18. Gọi z = z(x, y) là hàm số ẩn được xác định từ phương trình e
xy − y
3 z = 0. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. dz(0, 1) = dx + 3 dy. B. dz(0, 1) = dx − 3 dy. C. dz(0, 1) = 3 dx − 2 dy. D. dz(0, 1) = 2 dx − 3 dy.
Câu 19. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình y
′′
′
x
−x
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. y =
C 1 + xC 2 +
x
2
e
−x
e
x ; C 1 , C 2 là hai hằng số tùy ý.
B. y = (C 1
x + C 2
)e
−x
x ; C 1
, C
2
là hai hằng số tùy ý.
C. y = C 1
e
x
e
−x
x ; C 1
, C
2
là hai hằng số tùy ý.
D. y = C 1 cos x + C 2 sin x + 2 e
x ; C 1 , C 2 là hai hằng số tùy ý.
Câu 20. Tìm khối lượng m của bản phẳng D được giới hạn bởi các parabol y = x
2 , x = y
2
. Biết khối lượng riêng tại điểm
(x, y) trên D là ρ(x, y) = 2
y. Bỏ qua đơn vị tính khối lượng, chọn đáp án đúng?
A. m =
. B. m =
. C. m =
. D. m =
C. I =
2 π ∫
0
dϕ
3 π/ 4 ∫
0
sin θdθ
2 ∫
0
f (r cos ϕ cos θ, r sin ϕ cos θ, r sin θ)r
2 dr.
D. I =
2 π ∫
0
dϕ
3 π/ 4 ∫
0
sin θdθ
2 ∫
0
f (r cos ϕ sin θ, r sin ϕ sin θ, r cos θ)r
2 dr.
Câu 30. Cho hàm số f (x, y) = x
2 e
y
x (^) ; tìm d f (x, y). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. d f (x, y) = e
y
x (^) (2x − y)dx + xdy. B. d f (x, y) = (2x + y)dx + e
y
x (^) xdy.
C. d f (x, y) = (x − 2 y)dx + xdy. D. d f (x, y) = e
y
x
(2x − y)dx + xdy
Câu 31. Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình vi phân toàn phần?
A. (ye
x
x
2 cos y + 3 x)dy = 0. B. (ye
x
x
C. (ye
x
x
2 cos y + xy)dy = 0. D. (ye
x
x
Câu 32. Cho hàm f (x, y, z) khả tích trong miền đóng và bị chặn Ω. Khẳng định nào sau đây không đúng?
A.
Ω
f (x, y, z)dxdydz =
Ω
f (u, v, w)dudvdw.
B. f (x, y, z) khả tích trong miền Ω do đó liên tục trong Ω.
C. ∀(x, y, z) ∈ Ω : m ≤ f (x, y, z) ≤ M; V là thể tích hình Ω thì
mV ≤
Ω
f (x, y, z)dxdydz ≤ MV.
D. Ω =
(x, y, z)
∣ (^) (x, y) ∈ D; z 1 (x,^ y)^ ≤^ z^ ≤^ z 2 (x,^ y)
Ω
f (x, y, z)dxdydz =
D
dxdy
z 2 (x,y) ∫
z 1 (x,y)
f (x, y, z)dz.
Câu 33. Cho I =
D
f (x, y)dxdy, với D là miền được giới hạn bởi các đường y = x
2 , y = 4. Khẳng định nào sau đây
không đúng?
A. I =
4 ∫
0
dy
√ y ∫
−
√
y
f (x, y)dx. B. I =
4 ∫
0
dy
2 ∫
− 2
f (x, y)dx.
C. I =
0 ∫
− 2
dx
4 ∫
x
2
f (x, y)dy +
2 ∫
0
dx
4 ∫
x
2
f (x, y)dy. D. I =
2 ∫
− 2
dx
4 ∫
x
2
f (x, y)dy.
Câu 34. Tìm hàm U(x, y) thỏa mãn dU(x, y) = (6xy
2 − 3 x
2 y)dx + (6x
2 y − x
3 )dy và tính I =
_
AB
(6xy
2 − 3 x
2 y)dx + (6x
2 y − x
3 )dy;
cung
_
AB có phương trình x = y
2 và nối A(1; 1) đến B(4, 2). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. U = 3 x
2 y
2 − yx
3
- C; C là hằng số tùy ý; I = 62. B. U = 6 xy
2 − y
3 x + C; C là hằng số tùy ý; I = 9
C. U = 3 x
2 y − y
2 x + C; C là hằng số tùy ý; I = 12
- D. U = 3 xy
2 − y
3 x
2
- C; C là hằng số tùy ý; I = 53.
Câu 35. Tính f
′ (1) của hàm ẩn y = f (x) xác định bới phương trình xy
5 − x
3 y
4
5 y + cos(x − 1) = 7. Khẳng định nào sau
đây đúng?
A. f
′ (1) =
. B. f
′ (1) = 12. C. f
′ (1) =
. D. f
′ (1) = − 4.
Câu 36. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số z = x
2 −y
2 trong miền D =
(x, y)|x
2
2 ≤ 1
. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. Hàm số z đạt giá trị lớn nhất là 2. B. Hàm số z đạt giá trị lớn nhất là 3.
C. Hàm số không đạt giá trị lớn nhất. D. Hàm số z đạt giá trị lớn nhất là 1.
Câu 37. Chuyển sang tọa độ cực của tích phân I =
D
f (x, y)dxdy, với D là miền xác định bởi x
2
2 ≤ 4 y. Khẳng định
nào dưới đây đúng?
A. I =
π ∫
0
dϕ
4 cos ϕ ∫
0
f (r cos ϕ, r sin ϕ)rdr. B. I =
2 π ∫
0
dϕ
4 sin ϕ ∫
0
f (r cos ϕ, r sin ϕ)rdr.
C. I =
π ∫
0
dϕ
4 sin ϕ ∫
0
f (r cos ϕ, r sin ϕ)rdr. D. I =
π/ 2 ∫
0
dϕ
2 a cos ϕ ∫
0
f (r cos ϕ, r sin ϕ)dr.
Câu 38. Tính tích phân I =
D
x
2
2
dxdy, D =
(x, y)
∣ (^) x
2
2 ≤ R
2
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. I =
π
R
3
. B. I =
πR
4
. C. I =
πR
4
. D. I =
πR
3 .
Câu 39. Cho I =
D
(x − 1)(y + 2)dxdy; D =
(x, y)
x
2
y
2
. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. I = − 6 π. B. I = − 12 π. C. I = 8 π. D. I =
π.
Câu 40. Tích phân tổng quát của phương trình vi phân
dx
1 + x
2
ydy
3 + y
2
= 0 là
A. arctan x +
3 + y
2
= C; với C là hằng số tùy ý. B. arccos x + ln
∣y +
3 + y
2
∣ (^) = C; với C là hằng số tùy ý.
C. arctan x +
3 + y
2 = C; với C là hằng số tùy ý. D. arcsin x + ln
∣y +
3 + y
2
∣ = C; với C là hằng số tùy ý.
- - - - - - - - - - HẾT- - - - - - - - - -
