Download Distribusi peluang teoritis and more Study notes Statistics in PDF only on Docsity!
DISTRIBUSI PELUANG TEORITIS
1. PENDAHULUAN
Titik-titik contoh di dalam ruang sampel (S) dapat disajikan dalam bentuk numerik/ bilangan
Peubah acak Fungsi yang mendefiniskan titik-titik contoh dalam ruang contoh sehingga memiliki nilai berupa bilangan nyata disebut PEUBAH ACAK= VARIABEL ACAK= RANDOM VARIABEL (beberapa buku juga menyebutkan sebagai STOCHASTIC VARIABLE)
X dan x Biasanya PEUBAH ACAK dinotasikan sebagai X (X kapital). Nilai dalam X dinyatakan sebagai x (huruf kecil x)
Contoh 1: Pelemparan sekeping mata uang setimbang sebanyak 3 kali. S: (GGG, GGA, GAG, AGG, GAA, AGA, AAG, AAA). Dimana G= GAMBAR dan A= ANGKA. X: menyatakan banyaknya sisi GAMBAR (G) yang muncul
S: (GGG, GGA, GAG, AGG, GAA, AGA, AAG, AAA)
Perhatikan bahwa X bisa bernilai 0,1,2,3 atau X (GGG) = 3, X (GGA) = 2,………, x (AAA) = 0
Kategori Peubah Acak Peubah acak dapat dikategorikan menjadi:
a. Peubah acak diskrit: nilai yang mungkin berupa bilangan cacah (dapat dihitung) dan bisa terhingga atau tak terhingga
Misal: X= {0,1,2,3} dimana X= banyaknya gambar yang muncul pada pelemparan 3 mata uang Y= {0,1,2,…} dimana Y= banyaknya sambungan telepon pada kantrol sentral telepon dalam satu hari
b. Peubah acak kontinu: nilainya berupa selang bilangan, tidak dapat dihitung dan tidak terhingga (memungkinkan pernyataan dalam bilangan pecahan/ desimal). untuk hal-hal yang diukur (jarak, waktu, berat, volume) Misal: Jarak pabrik ke pasar = 35.57 km Waktu produksi perunit = 15.07 menit Berat bersih produk = 209.63 gram Volume kemasan = 100.00 cc
Distribusi peluang teoritis Tabel atau rumus yang mencantumkan semua kemungkinan nilai peubah acak berikut peluangnya Berhubungan dengan kategori peubah acak, maka dikenal: a. Distribusi peluang diskrit: Seragam), Binomial), Hipergeometrik), Poisson) b. Distribusi peluang kontinu: Normal*), t, F, x^2 (chi kuadrat) *): akan dipelajari dalam pelajaran kali ini
2. DISTRIBUSI PELUANG DISKRIT
2.1. Distribusi Peluang Seragam
Definisi distribusi peluang seragam:
Jika peubah acak X mempunyai nilai x 1 , x 2 , x 3 , …, xk yang berpeluang sama, maka distribusi peluang seragamnya adalah
Definisi Distribusi Peluang Binomial:
( )
n= banyaknya ulangan
x= banyak keberhasilan dalam peubah acak X
p= peluang berhasil pada setiap ulangan
q= peluang gagal = 1-p pada setiap ulangan
Catatan:
Untuk memudahkan membedakan p dengan q Anda terlebih dahulu harus dapat menetapkan mana kejadian SUKSES dan mana yang GAGAL. Anda dapat menetapkan bahwa kejadian yang ditanyakan adalah kejadian SUKSES
Contoh 4a:
Tentukan peluang mendapatkan MATA 1 muncul tiga kali pada pelemparan lima kali sebuah dadu seimbang. Kejadian sukses/ berhasil= mendapat MATA 1
x= 3
n= 5 pelemparan diulang 5 kali
p= 1/
( )
Contoh 4b:
Peluang seorang mahasiswa membolos adalah 6/10, jika terdapat 5 mahasiswa, berapa peluang terdapat 2 orang mahasiswa yang tidak membolos?
Jawab:
Kejadian yang ditanyakan kejadian SUKSES = TIDAK MEMBOLOS. Yang diketahui peluang MEMBOLOS= q= 6/10= 0,
p= 1-q= 1-0,60= 0,40 x=2 n=
( ) ( ) ( )
Atau lihat tabel A.
Contoh 5:
Suatu perusahaan “pengiriman paket” terikat perjanjian bahwa keterlambatan paket akan menyebabkan perusahaan harus membayar biaya kompensasi. Jika peluang setiap kiriman akan terlambat adalah 0,20. Bila terdapat 5 paket, hitunglah probabilitas:
a. Tidak ada paket yang terlambat, sehingga perusahaan tidak membayar biaya kompensasi (x= 0) b. Lebih dari dua paket terlambat (x > 2) c. Tidak lebih dari 3 paket yang terlambat (x ≤ 3) d. Ada 2 sampai 4 paket yang terlambat (2 ≤ x ≤ 4) e. Paling tidak, ada 2 paket yang terlambat (x ≥ 2)
Jawab:
a. P (X = 0) = b (0; 5, 0,20) = 0,3277 (lihat tabel A.2) b. P (X > 2) ( )
∑ (^ )
c. ( ) ∑ ( )
d. (^ )^ ∑^ (^ )^ ∑^ ( )
- Peluang bahwa lebih dari satu hasil percobaan akan terjadi pada satu selang waktu dan luasan tempat yang sama diabaikan
Definisi Distribusi Peluang Poisson:
e= bilangan pokok log natural= 2,
x= banyaknya unsur BERHASIL dalam sampel
μ= rata-rata keberhasilan
Tabel Peluang Poisson Seperti halnya peluang binomial, soal-soal peluang poisson dapat diselesaikan dengan tabel jumlah peluang poisson (tabel A3). Cara membaca dan menggunakan tabel ini tidak jauh berbeda dengan tabel binomial
Misal: poisson (2; 4,5)
∑ (^ )^ ∑ (^ )
Poisson (x<3; 4,5)
Poisson (x>2;4,5)
Contoh 6:
Rata-rata seorang sekretaris baru melakukan 5 kesalahan ketik perhalaman. Berapa peluang bahwa pada halaman berikut ia membuat:
a. Tidak ada kesalahan (x=0) b. Tidak lebih dari 3 kesalahan (x ≤ 3) c. Lebih dari 3 kesalahan (x > 3) d. Paling tidak, ada 3 kesalahan (x ≥ 3)
Jawab:
μ = 5
a. P (X = 0) ( )
atau lihat tabel A. b. (^ )^ ∑^ (^ ) c. ( ) ∑ ( )
d. Hitung!
Pendekatan Poisson untuk Distribusi Binomial:
Pendekatan peluang poisson untuk peluang binomial, dilakukan jika n besar (n > 20) dan p sangat kecil (p < 0,01) dengan terlebih dahulu menetapkan p dan kemudian menetapkan μ = n x p
Contoh 7:
Dari 1000 orang mahasiswa 2 orang mengaku selalu terlambat masuk kuliah setiap hari, jika pada suatu hari terdapat 5000 mahasiswa, berapa peluang ada lebih dari 3 orang yang terlambat?
Percobaan hipergeometrik adalah percobaan dengan ciri-ciri sebagai berikut:
- Contoh acak berukuran n diambil dari populasi berukuran N
- k dan N diklasifikasikan sebagai BERHASIL, sedangkan N-k diklasifikasikan sebagai GAGAL
Definisi Distribusi Hipergeometrik:
Bila dalam populasi N obyek, k benda termasuk kelas BERHASIL dan N- k (sisanya) termasuk kelas GAGAL maka distribusi hipergeometrik peubah acak X yang menyatakan banyaknya keberhasilan dalam contoh acak berukuran n adalah:
( ) untuk x= 0,1,2,3,…, k
Contoh 8:
Jika dari seperangkat kartu bridge diambil 5 kartu secara acak tanpa pemulihan, berupa peluang diperoleh 3 kartu hati?
Jawab: N= 52 n= 5 k= 13 x= 3
( ) (^) (selesaikan sendiri!)
Rata-rata dan ragam bagi distribusi hipergeometrik h (x;N,n,k) adalah:
Perluasan Distribusi Hipergeometrik jika terdapat lebih dari 2 kelas
Distribusi Hipergeometrik dapat diperluas menjadi penyekatan kedalam beberapa kelas:
Dan perhatikan bahwa:
N= ukuran populasi atau ruang contoh
n= ukuran contoh acak
k= banyaknya penyekatan atau kelas
xi= banyaknya keberhasilan kelas ke-i dalam contoh
ai= banyaknya keberhasilan kelas ke-i dalam populasi
contoh 9:
Dari 10 pengemudi motor, 3 orang mengemudikan motor merk S, 4 orang menggunakan motor merk Y, dan sisanya menggunakan motor merk H. jika secara acak diambil 5 orang, berapa peluang 1 orang mengemudikan motor merk S, 2 orang merk Y, dan 2 orang merk H?
Jawab:
N= 10 n= 5
a 1 = 3 a 2 = 4
x 1 = 1 x 2 = 2
a 3 = 3 x 3 = 2
3. DISTRIBUSI PELUANG KONTINU
3.1. Distribusi Normal Nilai peluang peubah acak dalam distribusi peluang normal dinyatakan oleh luas dari daerah dibawah kurva berbentuk genta/ lonceng (bell shape curve) Kurva maupun persamaan normal melibatkan nilai x, μ, dan σ
Keseluruhan kurva akan bernilai 1, ini menggambarkan sifat peluang yang tidak pernah negatif dan maksimal bernilai Satu
Perhatikan gambar dibawah ini:
Definisi Distribusi Peluang Normal:
( )
π= rata-rata populasi
σ= simpangan baku populasi
σ= ragam populasi
μ x
σ
untuk memudahkan penyelesaian soal-soal peluang normal, lihat tabel A.4. perhatikan tabel berikut:
- Nilai yang dicantumkan adalah nilai z
- P (Z < z) = luas daerah yang diarsir
Dalam soal-soal peluang normal tanda =, ≤, dan ≥ diabaikan, jadi hanya ada tanda < dan >
Contoh cara membaca tabel A.4:
a. P (0 < Z < 1,25) = P (Z < 1,25) – 0, = 0,8944 – 0, = 0,
b. P (Z > 1,25) = 1 – P (Z < 1,25) = 1- 0, = 0,
c. P (Z < 1,25) = 0,
σ=
0 z
a. X < 7,
P (X < 7,80) = P (Z < -0,33) = 0,3707 (gambarkan!).
banyak buruh yang menerima upah/ jam kurang dari $ 7,80:
= 0,3707 x 1000
= 370,7 = 371 orang
b. X > 8,
P (X > 8,30) = P (Z > 0,50)
= 1 – P (Z < 0,50)
= 0,3085 (gambarkan!)
banyak buruh yang menerima upah/ jam lebih dari $ 8,30: = 0,3085 x 1000 = 308,5 = 309 orang
c. 7,80 < X < 8, z 1 = -0,33 z 2 = 0, P (7,80 < X < 8,30) = P (-0,33 < Z < 0,50) = P (Z < 0,50) – P (Z < -0,33) = 0,6915 – 0, = 0,3208 (gambarkan!)
Banyak buruh yang menerima upah/ jam dari $ 7,80 sampai $ 8, = 0,3208 x 1000 = 320,8 = 321 orang
Pendekatan untuk peluang binomial p bernilai sangat kecil dan n relatif besar dan a. Jika rata-rata (μ) ≤ 20, maka lakukan pendekatan dengan distribusi Poisson dengan μ = n x p b. Jika rata-rata (μ) > 20, maka lakukan pendekatan dengan distribusi Normal dengan:
Contoh 12:
Dari 200 soal pilihan ganda, yang jawabannya terdiri dari lima pilihan (a,b,c,d,dan e). berapa peluang anda akan menjawab benar lebih dari 50 soal?
N= 200 p= 1/5=0,20 q= 1-0,20= 0,
Jika dikerjakan dengan Poisson
P (X > 50; p = 0,20) μ = n x p = 200 x 0,20 = 40
Poisson (X > 50; μ = 40), μ = 40 dalam tabel poisson tidak ada dan menggunakan rumus/ dihitung terlalu rumit!
P (X = 51; 40) +……+ P (X = 200; 40)
Kerjakan dengan Normal
( )
