Download discrete mathematics and more Lecture notes Mathematical Methods in PDF only on Docsity!
4 unları rayıaşnm
Ayrık Matematik dersinin amacı nedir?
»s Mantıksal ve matematiksel düşünmeyi öğrenme » Mantık bilimini tanıma, »> Matematiksel argümanların elde edilmesi ve anlamlandırılması,
» Matematiksel olarak doğru /yanlışın gösterilemesi (ispat yöntemleri). e Kombinatorial analiz Nesnelerin sayılması/numaralandırılması yeteneğini geliştirme, » Saymanın temel tekniklerinin öğrenilmesi, Problemlerin çözümü üzerine farklı bir yaklaşım: Formüller ile değil, akıl yürütme/analiz yöntemlerinin kullanılması. e Ayrık nesneler Ayrık nesne çeşitlerinin tanıtılması, Ayrık nesnelerin birbirleriyle ve/veya diğer disiplinler ile bağlantılarının incelenmesi. Algoritmik Düşünme » Karşılaşılan problemlerin çözümleri için algoritmaların oluşturulması, » Oluşturulan algoritmaların bir bilgisayar dili aracılığıyla çözüme ulaşım sürecinin hızlandırılması.
Uygulamalar ve Modelleme
Mantıksal yöntemler matematikte teoremlerin ispatlanmasında, bilgisayar bilimlerinde ise programların istenilen işlemlerin yapmasını kontrol etmede kullanılırlar.
Örneğin, sizlere şehirler arasında en kısa uzaklığın hesaplanması ile ilgili bir program yazmanız istenilirse, ne yaparsınız?
Yazacağınız program, e Herhangi bir sayıdaki şehirleri (lokasyonları girdi olarak kabul edebilmeli,
k
e Bu şehirler/lokasyonlar arasındaki uzaklığı, kullanılabilecek olası bütün yolları göz önünde bulundurarak, hesaplayabilmeli ve/veya girdi olarak girilmesine imkan tanımalı, ve son olarak e Bu uzaklıkların en kısa olanını çıktı olarak sunabilmelidir.
Peki, programın, herhangi bir sayıdaki şehir /lokasyon için doğru çalışıp
çalışmadığını nasıl kontrol edebiliriz?
Bu durumda mantıksal bir argumana ihtiyaç duyulacaktır, yani mantık
kullanılmalıdır.
Mantık ilmini anlamak günlük yazma dilinde de kullanışlı olabilir.
Örneğin, bir devletin kanunlarında
“bir kimsenin kendi evinde 4'den fazla kedi ve 4'den fazla köpek
bulundurması yasalara aykırıdır”
maddesi var ve bir kimse kendi evinde 6 adet köpek bulundurup hiç kedi
bulundurmuyorsa bu kişi ilgili kanuna aykırı mı hareket etmektedir?
1.1 Önermeler
Aşağıdaki iddiaları hangileri “doğru” veya “yanlış” 'tır? e 7'yi tam olarak bölen pozitif tam sayılar sadece 1 ve 7'dir. e Alfred Hitchcock “Rebecca” film direktörü olarak 1940 yılında akademi ödülünü kazandı. e Her pozitif tamsayı p için p'den büyük bir asal sayı vardır. e Uzayda yaşamın olduğu tek yer 'Dünya”'dır. e Cuma günü şehir tiyatrolarındaki “Hayal Satanlar” gösterimi için iki adet tiyatro bileti alınız.
Bir p önermesinin doğruluk değeri p doğru ise D ile, yanlış ise Y ile gösterilir.
Birden fazla önermeden meydan gelen bir önermeye “bileşik önerme” denir. Tanım Bir p önermesinin değili (negatifi), —p ile gösterilir, “p'nin doğru olmadığı durum” olarak tanımlanır. Orneğin,
“Mehmetin kırmızı arabası vardır.”
önermesinin değili
“Mehmetin kırmızı arabası vardır durumu doğru değildir.”
p: Ahmet'in cebinde en fazla 1 milyon TL'sı vardır.
önermesinin değili
—p: Ahmet'in cebinde en fazla 1 milyon TL'sı vardır durumu doğru değildir.
veya daha basit olarak
-p: Ahmet'in cebinde 1 milyon TL'den daha fazla parası vardır.
olarak ifade edilir.
Günlük dilde kullanılan “ve” ve “veya” gibi bağlaçlar genelde birbiriyle
ilişkili ve anlamlı cümleler için kullanılırken Mantık biliminde bu detay önemsenmez.
Örneğin,
“4 < 9 veya Istanbul Turkiye Cumhuriyeti'nin başkentidir.”
gibi önermeler Mantık biliminde abes kaçmaz.
Parantezlerin bulunmadığı ikiden fazla önermenin —, A ve/veya V operatörü ile işlemlerinde öncelik sırası aşağıdaki gibidir: o Önce - işlemleri, e Sonra A işlemleri, ve son olarak & e V işlemleri yapılır.
Örnek
p ver önermelerinin “yanlış”, g önermesinin “doğru” olduğu bir durumda
-pVgAh
önermesinin doğruluk değerini bulunuz.
Tanım p ve g iki önerme olsun. p & g şeklinde gösterilen & operatörüne p ve g'nun dışlayıcı veya operatörü denir, ve “p veya g (ama ikisi birden değil)” olarak okunur. p & g işleminin doğruluk değeri p ve g'nun yalnızca birinin doğru olduğu durumda doğru, diğer durumlarda yanlıştır.
Bu durumda p © g önermesinin doğruluk tablosu
p g)p&g
D Dİ Y
D Yİ D
Y Dİ D
Y Yİ Yy
olacak şekilde elde edilir.
Tanım p ve g iki önerme olsun. p — g şeklinde gösterilen — operatöre p ve g'nun şartlı operatörü denir, ve “eğer p ise, bu durumda g" olarak okunur. p — g işleminin doğruluk değeri p doğru g yanlış olduğunda yanlış, diğer durumların hepsinde doğrudur.
Bu durumda p > g önermesinin doğruluk tablosu
olacak şekilde elde edilir.
p— g şartlı önermesinde p'ye hipotez, g'ya sonuç denir. k vr eri —a ar e e # AL
Eğer yeni dönemde Matematik bölümüne 1 500 000 TL ek bütçe ayrılırsa
bölüm 1 adet fazladan öğretim üyesi ilanına çıkacak.
Bir başka örneğimizde
olarak verilirse, p önermesi Y, ve g önermesi D olduğundan p—g
önermesi D veg—> p ise Y olacaktır.
Parantezlerin bulunmadığı ikiden fazla önermenin —, A, V ve/veya —
operatörü ile işlemlerde — operatörü en son işleme alınır.
Örnek p ve r önermelerinin D, g önermesinin ise Y olduğu bir durumda aşağıda verilen önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz: epAg—r epVg— -r epAlg—r)
ep—(g—r)
Örneğimizin 2. şıkkının nasıl yapılacağını görelim: Önce — operatörü işleme konulduğundan r önermesi D ise —r önermesi Y olmalıdır. k p önermesi D olduğundan p V g önermesi P olur, dolayısıyla p V g — —r önermesi Y olacaklır.
Tersi ise © -p > -g: Eğer yağmur yağmıyorsa, ev sahibi takım kazanamaz.
Şimdi ise aynı doğruluk değerine sahip iki önermenin birleştirilmesine yönelik başka bir operatör tanıyacağız:
Tanım
p ve g iki önerme olsun. p > g şeklinde gösterilen — operatöre p ve g'nun çift şartlı ifadesi denir, ve “p, ancak ve ancak g ise" olarak okunur. p > g işleminin doğruluk değeri p ve g aynı doğruluk değerlerini aldığında doğru, diğer durumlarda yanlıştır.
Bu durumda p & g önermesinin doğruluk tablosu
olacak şekilde elde edilir. emk iken Bek mi, 120
Örnek
p <> g önermesi ile (p > g) A(g —> p) önermesinin doğruluk değer tablosunu karşılaştırınız.
Bir T.C. vatandaşının USA'e gidebilmesi için gerek ve yeter koşul vize başvurusunun olumlu sonuçlanmasıdır.
1 < 5 ancak ve ancak 2 <8.
Aşağıdaki denklikler literatürde De Morgan Kuralı olarak bilinirler:
»e—(pVg) x—pA—g, e —(pAg)-pV—g.
Tanım Kendisini oluşturan önermelerin doğruluk değerleri ne olursa olsun » her zaman doğru olan bir bileşik önermeye totoloji, se her zaman yanlış olan bir bileşik önermeye çelişki denir.
Tanım Totoloji veya çelişki olamayan bir önermeye belirsiz önerme denir. p herhangi bir önerme olmak üzere
pV -p
önermesini bir totolojiye, p/AN—P önermesini ise çelişkiye örnek verebiliriz. Not: p — g ifadesi bir bileşik önerme değil, p 43g bileşik önermesinin totoloji olduğunu gösteren bir ifadedir. A e
De Morgan kuralının ilkinin doğruluğunu bir tablo ile göstermek istersek
|lpVg) -ph-g|
<S
Ofe
(^) g D Z D Yı^ O
<< ie
ie
ie
elde ederiz.
Örnek
»XP—g)zph-g , olduğunu gösteriniz.
Örnek
p*az(P—4)A(4—p)
olduğunu gösteriniz.
—— ————————— Şşş yay yg Şimdiye kadar görmüş olduğumuz operatörler (değil, birleştirme, ayırma, şartlı, ve çift şartlı) yardımıyla daha karmaşık bileşik önermeler elde etmemiz mümkündür.
Örneğin,
(8V-4)— (ph) bahsetmiş olduğumuz önerme çeşitlerindedir.
Bu tür karmaşık ifadelerin doğruluk değerlerini ilgili önermeyi oluşturan alt bileşik önermelerin doğruluk değerlerini de bulunduran doğruluk tabloları kullanılarak elde edebiliriz.
Örneğin, yukarıda geçen önermenin doğruluk değer tablosunu
İp al-alpv-glpAgl(pv-9)—(pAg|
<vwko<Ub
<Uo< b<Vvo<< KO<U
Mantıksal Operatörlerin Özellikleri
epAD—p ve pvYzp (Özdeşlik kanunu)
epAYsY ve pVDZzD (Baskınlık kanunu) epApzp ve pVpzplDeğişmezlik kanunu) e —(-p) — p (Çift değilleme kanunu)
ephgsghAp ve pVgzgvVp (Sıra değişme kanunu)
o (^) (pAg)Arsph(gir) ve (pVg)VrspvVl(gvVr) (Birişme
kanunu)
epvl(ghr)z(pVg)A(pVr) ve pAlgVr)x(phg)V(pAr)
(Dağılma kanunu)
e De Morgan kanunları
epV(pAg)zp ve pAlpvVg)zpf(Yutma kanunu)
epV-p—D ve ph-pzy (Değilleme kanunu)
p-—gs-pVg,
P- dsg,
pVgz-p—g,
PWwg— pp),
P—4)zph-g
(p—g)A(p—r)zp—(ghr),
(p-r)A(g—r)zlpVg)-—r,
(p—a)V(p—r)zp—(gVr),
YE) e
Son iki slayttaki denkliklerin doğruluğunu gösterebileceğimiz gibi bu
denklikler kullanılarak başka denkliklerin doğruluklarını gösterebiliriz.
Örneğin, —(p—> g) & p A -g denkliğini doğruluğunu doğruluk değer
tablosu yapmadan göstermemiz mümkündür:
—(-») A
-g)
—pA -g
o —İpV (E (- 1D 1 / N a)))) — —p A -g denkliğinin doğruluğunu doğruluk değer tablosu yapamadan gösteriniz
e (pAg)—> (pV ag) önermesinin bir totoloji olduğunu doğruluk değer
tablosu yapamadan gösteriniz.
Örneğimizin ilk şıkkının doğruluğunu
EV (0pA9)) Ep AapAg) —-pA(pV a) : —(Cp Ap) V( PA —g) —YV(pA-4)
—(-pA -g)
olacak şekilde gösterebiliriz.
Tanım
Bir bileşik önerme eğer onu oluşturan değişkenlerin doğruluk değerleri
sonucu doğru yapılabilecek şekilde atanabiliyorsa saglanabilirdir, tüm olası
atama değerleri için sonuç yanlış olarak bulunuyorsa saglanamazdır denir.
Tanım
Bir bileşik önermeyi doğru yapacak herhangi bir değişken kombinasyonu
atamasına önermenin çözümü denir.
Örnek
Aşağıda verilen önermelerin sağlanabilir olup-olmadıklarını gösteriniz.
e (pV-g) A(gVv-r)A(r V -p),
e (pVgVr)A(pV-gVr), e (pV-g)A(gv-r)A(rv-p) (pvr
—.
px < ifadesi bir önerme olmamakla birlikte iki parçadan oluşur: ilk parçası ““x değişkeni”, ikinci parçası ise “5'ten küçüktür”.
Bu örneğimizdeki p ifadesinin 2. parçasına yüklem denir.
“x < 5", veya “x küçüktür 5” ifadesini P(x) ile ifade edebiliriz.
Burada P, “5'ten küçüktür” yüklemini belirtir, ve x bir değişkendir.
P(X) ifadesi aynı zamanda önerme x, noktasında P önerme fonksiyonunun değeri olarak da ifade edilebilinir.
x değişkeninin her bir değeri için P(x) ifadesi bir önerme olur ve doğruluk değeri vardır.
Örnek
Aşağıdaki her bir ifadeyi birer önermeli fonksiyona örnek verebiliriz:
© “n --n tek bir tamsayıdır”
e
e “Lokanta, Chicago gazetesinin yapmış olduğu ankette 5 üzerinden
2'nin üzerinde puan aldı”
Örneğimizin son şıkkında “lokanta” bir değişkendir ve spesifik bir lokanta
ismi söylenirse ilgili ifadenin doğruluk değeri bulunabilinir.
Niceleme, bir yüklemin bir aralıktaki öğeler üzerinde gerçek olduğu
dereceyi ifade eder.
Her, bazı, birçok, hiçbiri, birkaç, - -- gibi kelimeleri niceleyecilere örnek verebiliriz.
Bu kısımda iki niceleme çeşidi üzerinde duracağız:
k Birden fazla değişken içeren ifadeleri değişkenleri gr fonksiyonunda
belirterek ifade edebiliriz.
Örneğin m — 5 — 2 ifadesini önerme fonksiyonu ©(m, n) ile ifade edilir ve
(m, n) ikilisinin verilen her bir değeri için bu ifade bir önerme olup bir
doğruluk değerine sahiptir.
Örnek
e P(x), “x bir çift tamsayıdır” ifadesini belirtiyorsa P(3) ve P(12)
önermelerinin doğruluk değerleri ne olur?
e O(m,n), “m— 5 — 2" ifadesini belirtiyorsa ©(0,4) ve ©(2,0)
önermelerinin doğruluk değerleri ne olur?
e R(a,b,c), “a—b-.c— 2" ifadesini belirtiyorsa R(4,2,3) ve R(2,0.1)
önermelerinin doğruluk değerleri ne olur?
Genel olarak, n tane xı, xo, :- x, değişkeni içeren bir ifade,P(x1,x5,*:x,)
önerme fonksiyonu ile gösterilir, ve P'ye n—li yüklem denir.
Tanım Belirli bir tanım bölgesi için P(x)'in evrensel nicelemesi, bu tanım bölgesindeki bütün x değerleri için P(x)'in doğru olduğunu öne süren önermedir. Bir başka deyişle, “Tanım bölgesindeki tüm x değerleri için P(x)” ifadesine P(x) evrensel nicelemesi denir. “V x P(x)" gösterimi P(x) için bir evrensel niceleme gösterir, ve V evrensel niceleyeci olarak adlandırılır. “V x P(x)"'i, genelde, “her x P(x) için” olarak okuruz. Yanlış olan bir P(x) elemanı “V x P(x)"'in bir karşıt örneği olarak adlandırılır.
Örnek ©
P(x), "x-*-2 > x" ifadesi olsun. “V x P(x)" nicelemesinin doğruluk
değerini bulunuz (tanım kümesi bütün Reel sayılar).
Vx E R için P(x) ifadesi D olacağindan “V x P(x)” nicelemesinin doğruluk
değeri D'dir.
Örnek
O(x), “x > 2" ifadesi olsun. “Y x ©(x)” nicelemesinin doğruluk değerini
bulunuz (tanım kümesi bütün Reel sayılar).
Vx ER için ©(x) ifadesi D olamayacağından “V x ©(x)” nicelemesinin
doğruluk değeri Y'dir (1 € R,ama 1 > 2 iddiası doğru değildir).
Bir önceki örnekte x—1, “V x ©(x)" için karşıt bir örnektir.
R(Xx), “x* >0” ifadesi olsun. “V x R(x)” nicelemesinin doğruluk değeri
nedir (tanım kümesi bütün Reel sayılar)?
Matematik çalışmalarında evrensel nicel ifadeler için karşıt örnekler arama önemli bir yer tutar.
Tanım bölgesindeki tüm elemanları
X1,X2,*** , Xn
olacak şekilde listeleyebilirsek,
vwPlar
evrensel niceleyicisi P(x), Pe). Pan) niceleyecilerinin hepsi doğru olduğunda doğru olduğundan bu evrensel niceleyeciyi Pa) A P(x) As A P(p) ile gösterebiliriz.
Örnek
Aşağıda verilen varoluşsal niceleyicilerin doğruluğunu, tanım kümelerinin
bütün reel sayılar olması durumunda, araştırınız:
Da 2 — — — — ene 5)
ox (m a > 1).
x - 2 olması durumunda I Xx 2 241 5
iddiası doğru olacağından en az bir x € R için P(x) ifadesi D'dir,
dolayısıyla varoluşsal niceleyicinin doğruluk değeri D'dir.
Tanım bölgesindeki tüm elemanları ©
X1,X2,*** Xp
olacak şekilde listeleyebilirsek,
4x Pix)
varoluşsal niceleyicisi
P(x), Pe): , Plan)
niceleyecilerinin en az biri doğru olduğunda doğru olduğundan bu
varoluşsal niceleyeciyi
Pa) V Pe) V e V Plan)
ile gösterebiliriz. A
D
Bir önceki örneğimizin son şıkkında varoluşal niceliğin yanlış olduğunu bununla bağlantılı evrensel niceleyicinin doğru olduğunu kullanarak gösterdik.
Bu durumu aşağıdaki şekilde genelleyebiliriz:
Teorem
P(X) bir önerme fonksiyonu olsun. Bu durumda
o —(Vx P(x)) 3x P(x),
e-(JxPO)Vx-P(x).
Yukarıdaki teoremde geçen kurallar literatürde “Niceleyiciler için De Morgan kuralları" olarak bilinirler.
Teoremin ilk kısmının doğruluğunu gösterelim (benzer şekilde ikinci kısmın doğruluğu da gösterilebilinir):
Göstermek istediğimiz
—(V x P(X))E 3 x —P(x)
denkliğidir.
—(Y x P(x) ifadesinin D olduğunu vgrsayalım.
Bu durumda V x P(x) ifadesi Y olur. K
Yani tanım kümesinde en az bir x vardır ki P(x) Y'dir.
Bu durumda, tanım kümesinde, en az bir x vardır ki —P(x) D'dir.
Bu ise bize 3 x -P(x) varoluşsal niceleyicinin D olacağını söyler. Yani
-(V x P(x)) X 3 x -P(x).
denkliğinin sol tarafı D ise denkliğin sağ tarafıda D'dir. Benzer şekilde ilgili denkliıgin sol tarafı Y ise denkliğin sağ tarafıda Y olacağını gösterebiliriz. (^) ae lere Daha önce, tanım bölgesindeki tüm elemanları xı, x>2,::-:- , xn, olacak şekilde listelendiğinde, e POE” ve “3x PO)” niceleyicilerinin, sırasıyla, Pa) a PCa) ANA Plan), ve PGA)V PĞEG)J NV SN P(x) ifadelerine denk olduklarından bahsetmiştik. - Bu denkliklerin “genelleştirilmiş De Morgan kuralları”"'nda yerine yazdığımızda da ilgili denkliklerin bir başka formda ifade edildiklerini görebiliriz.
İç İçe Niceleyiciler
“Herhagi iki pozitif reel sayının toplamı pozitif bir reel sayıdır.”
ifadesini göz önünde bulunduralım.
İki sayıdan bahsedildiği için iki değişken ihtiyaç duyacağız, x ve y diyelim.
Bu durumda ilgili ifadeyi
“Eğerx>0vey>0isex-4-y>0'dır."
olarak yazabiliriz.
Orijinal ifadede “herhangi iki” ibaresi geçtiğinden hem x değişkeni için hem
de y değişkeni için evrensel niceleyici V sembolüne ihtiyacımız olacaktır.
Yani, bu ifade
VxVy(xX>0)A(Y>0)—(x4*y>0))." R
olarak yazılabilinir.
Birden fazla niceleyicinin bir arada kullanıldığı niceleyicilere, VxVy gibi, iç içe niceleyiciler denir.
Örnek
Wm3n(m< n) ifadesi ne anlama gelmektedir (tanım kümesi bütün
tamsayılar)?
Bu ifadeyi şu olası cümlelerle anlatabiliriz: “Her me Z içinöyleneZ vardırkim< n'dir."
“Herhangi bir m tamsayısı için m'den büyük bir n tamsayısı vardır.”
“En büyük tamsayı yoktur."
Örnek
“Herkes birilerini sever" cümlesini mantıksal sembollerle ifade ediniz.
“x y'yi sever" ifadesinin fonksiyonunu £(x, y) ile gösterelim.
Cümlesel olarak, orijinal ifadeyi, “Her x kişisi için, öyle bir y kişisi vardır ki
x kişisi y kişisini sever” olarak ifade edebiliriz.
Bu ifadeyi de, sembolik olarak,
Vediyleşy)”
şeklinde yazmamımız mümkündür.
Dikkat edilirse, bir önceki örneğin sembolik ifadesini
“IxVyL(x,y)"
olarak yazamayız.
Tanım gereği, A tanım kümesine sahip
VxVy P(xy)"
ifadesinin “Doğru” olması A kümesindeki her x ve her y için P(x, y)'nin
“Doğru” olmasına bağlıdır.
Bu ifadenin “Yanlış" olması ise A kümesindeki en az bir x veenazbir y için P(x, y)'nin “Yanlış” olması durumunda mümkündür.
Şimdi ise, tanım kümesi bütün reel sayılar olan aşağıdaki ifadeyi göz
önünde bulunduralım:
VxVy(X>0)A4(y<0)—(x4*-y7#0))
Bu ifadenin doğruluk değeri Y'dir çünkü x — 1 ve her y— 1 için
(X>0)4(y<0)—(x*-y7#0)
şartlı önermesi yanlıştır.
Bu durumda, x — 1 ve y — —-I ikilisine bu ifade için karşıt örnektir deriz.
