Download diferansiyel denklemler and more Exercises Differential Equations in PDF only on Docsity!
Diferensiyel Denklemler I
Uygulama Notları
Mustafa Ozdemir¨
˙I¸cindekiler
Temel Bilgiler...................................................................... 2 Tam Diferensiyel Denklemler........................................................ 4
Ayrılabilir Diferensiyel Denklemler.................................................. 7 Homojen Difernsiyel Denklemler................................................... 13 Lineer Diferensiyel Denklemler..................................................... 17
Bernoulli Diferensiyel Denklemler.................................................. 19 ˙Integrasyon C¸ arpanının Belirlenmesi............................................... 23
˙Iki de˘gi¸skenli lineer katsayılı diferensiyel denklemlerin ¸c¨oz¨um¨u......................
Riccati Diferensiyel Denklemi...................................................... 31 E˘gri Ailelerinin y¨or¨ungelerinin Denkleminin bulunması............................. 34
Clairaut Diferensiyel Denklemleri.................................................. 37
Diferensiyel Denklemlerle ˙Ilgili Temel Bilgiler
Soru 1 : A¸sa˘gıdaki diferensiyel denklemlerin adi-kısmi olup olmadı˘gını, mer-
tebesini, lineer olup olmadı˘gını, lineer is katsayısının t¨ur¨un¨u belirtiniz.
a) d
(^2) y dx^2
b) d
(^3) y dx^3 + 2^
d^2 y dx^2 −^
dy dx −^2 y^ = 0
c)
dr dθ
d^2 r dθ^2 + 1
d) ∂
(^2) u ∂x^2
(^2) u ∂y^2
e) ∂
(^2) y ∂x^2
(^3) y ∂z^3
f) d
(^4) y dx^4
d^2 y dx^2
g) dr dθ
rθ h) y′′^ + xy = sin y′′
i) ∂
(^2) y ∂x^2
C¸ ¨oz¨um :
a) 2.mertebeden, de˘gi¸sken katsayılı lineer adi diferensiyel denklem. b) 3.mertebeden,sabit katsayılı lineer adi diferensiyel denklem. c) 2.mertebeden, lineer olmayan adi diferensiyel denklem. d) 2.mertebeden, sabit katsayılı lineer kısmi diferensiyel denklem. e) 3.mertebeden, lineer olmayan kısmi diferensiyel denklem. f) 4.mertebeden, lineer olmayan adi diferensiyel denklem. g) 1.mertebeden, lineer olmayan adi diferensiyel denklem. h) 2.mertebeden, lineer olmayan adi diferensiyel denklem. i) 2.mertebeden, de˘gi¸sken katsayılı lineer kısmi diferensiyel denklem.
Soru 1 : (y − c 1 )^2 + (x − c 2 )^2 = 1 denklemindeki sabitleri yok ederek diferensiyel
denklem olu¸sturunuz.
C¸ ¨oz¨um : Denklemin x de˘gi¸skenine g¨ore iki kez t¨urevini alalım.
2 (y − c 1 ) y′^ + 2 (x − c 2 ) = 0 2 y′y′^ + 2 (y − c 1 ) y′′^ + 2 = 0
olur. Son denklemden c 1 sabitini yalnız bırakırsak,
c 1 =
1 + (y′)^2 + yy′′ y′′
Tam Diferensiyel Denklemler
Soru 1 : 2 xydx +
x^2 + cos y
dy = 0 diferensiyel denklemini ¸c¨oz¨un¨uz.
C¸ ¨oz¨um : M = 2xy ve N = x^2 + cos y oldu˘gundan, ∂M
∂y
= 2x = ∂N ∂x
oldu˘gundan denklem
bir tam diferensiyel denklemdir. Dolayısıyla ¨oyle bir U (x, y) fonksiyonu vardır ki, M = ∂U ∂x = 2xy^ ve^ N^ =^
∂U
∂y =^ x
(^2) + cos y ’dir.
∂U ∂x = 2xy^ e¸sitli˘gini^ x^ de˘gi¸skenine g¨ore integre edersek,^ U^ (x, y) =^ x
(^2) y + ϕ (y) elde edilir.
Ayrıca, ∂U ∂y
= x^2 + ϕ′^ (y) = x^2 + cos y e¸sitli˘ginden ϕ′^ (y) = cos y ve ϕ (y) = sin y + c 1 elde
edilir. B¨oylece, U (x, y) = x^2 y + sin y + c 1 = c 2 ve istenen genel ¸c¨oz¨um x^2 y + sin y = c olarak bulunur.
Soru 2 : y
′ (^) = xy^2 −^1 1 − x^2 y y (0) = 1
diferensiyel denklemini ¸c¨oz¨un¨uz.
C¸ ¨oz¨um : Denklem d¨uzenlenirse
xy^2 − 1
dx +
x^2 y − 1
dy = 0
olur. Buradan, M =
xy^2 − 1
ve N =
x^2 y − 1
i¸cin,
∂M ∂y
= 2xy = ∂N ∂x
oldu˘gundan denklem bir tam diferensiyel denklemdir. Dolayısıyla ¨oyle bir U (x, y) fonksiy- onu vardır ki,
M =
∂U
∂x =^
xy^2 − 1
ve N =
∂U
∂y =^
x^2 y − 1
’dir. ∂U ∂x
xy^2 − 1
e¸sitli˘gi x ’e g¨ore integre edilirse,
∫ (^) ∂U ∂x
dx =
xy^2 − 1
dx
ve U (x, y) =
x^2 y^2 2 −^ x^ +^ ϕ^ (y) =^ c^ bulunur.
Ayrıca, N = ∂U∂y =
x^2 y − 1
oldu˘gu g¨oz ¨on¨une alınırsa, yx^2 +ϕ′^ (y) = yx^2 −1 e¸sitli˘ginden,
ϕ′^ (y) = −1 ve ϕ (y) = −y + c bulunur. B¨oylece,
U (x, y) =
x^2 y^2 2 −^ x^ −^ y^ =^ c
elde edilir. y (0) = 1 ’den x = 0 ve y = 1 yerine yazılırsa, c = −1 bulunur. O halde denklemin ¸c¨oz¨um¨u
x^2 y^2 2 −^ x^ −^ y^ + 1 = 0
olur.
Soru 3 :
dr dθ =^
r^2 sin θ 2 r cos θ − 1 θ (2) = π
diferensiyel denklemini ¸c¨oz¨un¨uz.
C¸ ¨oz¨um : (2r cos θ − 1) dr −
r^2 sin θ
dθ = 0 denkleminde M = (2r cos θ − 1) ve N = −
r^2 sin θ
i¸cin
, ∂M
∂θ
= − 2 r sin θ = ∂N ∂r
oldu˘gundan denklem bir tam diferensiyel denklemdir. Dolayısıyla ¨oyle bir U (r, θ) fonksiy- onu vardır ki,
M = ∂U
∂r
= (2r cos θ − 1) ve N = ∂U ∂θ
r^2 sin θ
’dir. ∂U ∂r
= (2r cos θ − 1) e¸sitli˘gini r ’ye g¨ore integre edersek,
∫ (^) ∂U ∂r dr^ =^
(2r cos θ − 1) dr ve U (r, θ) = r^2 cos θ − r + ϕ (θ) = c
bulunur. Ayrıca, N = ∂U∂θ = −
r^2 sin θ
oldu˘gu g¨oz ¨on¨une alınırsa, −r^2 sin θ + ϕ′^ (θ) =
−
r^2 sin θ
e¸sitli˘ginden, ϕ′^ (θ) = 0 ve ϕ (θ) = c bulunur. B¨oylece,
U (r, θ) = r^2 cos θ − r = c
elde edilir. θ (2) = π ’den r = 2 ve θ = π yerine yazılırsa, c = − 4 − 2 = −6 bulunur. O halde denklemin ¸c¨oz¨um¨u
r^2 cos θ − r + 6 = 0
olur.
ALIS¸TIRMALAR
A¸sa˘gıdaki tam diferensiyel denklemleri ¸c¨oz¨un¨uz a) 3x (xy − 2) dx +
x^3 + 2y
dy = 0 b)
2 x^3 − xy^2 − 2 y + 3
dx −
x^2 y + 2x
dy = 0 c) (2xy − y) dx +
x^2 + x
dy = 0
Ayrılabilir Diferensiyel Denklemler
Soru 1 : cos y
dy dx + 2x^ −^2 x^ sin^ y^ = 0^ diferensiyel denklemini ¸c¨oz¨un¨uz.
C¸ ¨oz¨um : cos y dy
dx
- 2x (1 − sin y) = 0 denkleminin her tarafını cos y ile b¨olersek,
dy dx =^ −^2 x^
(1 − sin y) cos y
ve d¨uzenlersek
cos y 1 − sin y dy^ + 2xdx^ = 0
ayrılabilir dif. denklemi elde edilir. Buradan,
− ln | 1 − sin y| + x^2 + c = 0
e¸sitli˘ginden
1 − sin y = ex^2 +c
bulunur.
Soru 2 : (xy + 2x + y + 2) dx +
x^2 + x
dy = 0 diferensiyel denklemini ¸c¨oz¨un¨uz.
C¸ ¨oz¨um : Katsayıları ¸carpanlarına ayırırsak, (x + 1) (y + 2) dx+(x + 1) xdy = 0 elde edilir.
Buradan, aynı de˘gi¸skeni i¸ceren ifadeleri bir araya getirmek i¸cin her tarafı (y + 2) (x (x + 1)) ile b¨olersek,
dx x
elde edilir. Bu denklemin integre edilmesiyle ln |x| + ln |y + 2| = ln c veya x (y + 2) = c bulunur.
Soru 3 :
dy dx = (x^ +^ y^ + 1)
(^2) diferensiyel denklemini ¸c¨oz¨un¨uz.
C¸ ¨oz¨um : x + y + 1 = u ve 1 + dydx = dudx d¨on¨u¸s¨um¨u ile denklem dudx = u^2 + 1 olur. Bu
ayrılabilir diferensiyel denklemdir.
u^2 + 1 du^ =^ dx^ ’in integre edilmesiyle arctan^ u^ =^ x^ +^ c ve buradan arctan (x + y + 1) = x + c veya tan (x + c) = x + y + 1 elde edilir.
Soru 4 : sin x cos ydx + cos x sin ydy = 0 diferensiyel denklemini ¸c¨oz¨un¨uz.
C¸ ¨oz¨um 4 : Bu denklemin bir tam diferensiyel denklem oldu˘gu g¨or¨ulerek ¸c¨oz¨ulebilir. Fakat,
aynı zamanda bu denklem bir de˘gi¸skenlerine ayrılabilir diferensiyel denklemdir. Ger¸cekten her tarafı cos x cos y ile b¨olersek,
sin x cos x dx^ +
sin y cos y dy^ = 0
elde edilir. Bu denklemin integre edilmesiyle − ln |cos x| − ln |cos y| = − ln |c| veya cos x cos y = c elde edilir.
Soru 5 : y′^ =
2 x + y + 1 diferensiyel denklemini ¸c¨oz¨un¨uz.
C¸ ¨oz¨um 5 : 2 x+y +1 = u, 2+ dy
dx
= du dx
d¨on¨u¸s¨um¨u ile, du dx
u veya du dx
u + 1)
elde edilir. Bu de˘gi¸skenlerine ayrılabilen bir diferensiyel denklemdir.
√u + 1 du =
2 dx
integralini hesaplayalım. Bunun i¸cin √u + 1 = z , 1 2
u
du = dz d¨on¨u¸s¨um¨un¨u uygulayalım.
Buradan,
∫ (^1) √ u + 1
du = 2
∫ (^) z − 1 z
dz = 2
z
dz = 2 (z − ln z)
oldu˘gu g¨or¨ulebilir. O halde, 2 (z − ln z) = 2x + c e¸sitli˘ginde z =
2 x + y + 1 + 1 yerine yazılırsa,
2
2 x + y + 1 + 1 − ln
2 x + y + 1 + 1
= 2x + c
elde edilir.
Soru 6 : y′^ = cos (x + y) diferensiyel denklemini ¸c¨oz¨un¨uz.
C¸ ¨oz¨um 6 : x+y = u , 1+ dy
dx
= du dx
d¨on¨u¸s¨um¨u ile, du dx
−1 = cos u de˘gi¸skenlerine ayrılabilen diferensiyel denklem elde edilir. Buradan,
∫ (^) du 1 + cos u
dx
e¸sitli˘ginden,
∫ (^) du 1 + cos u =^ x^ +^ c^ bulunur. S¸imdi,^
∫ (^) du 1 + cos u integralini hesaplayalım,
bunun i¸cin cos u = 2 cos^2 u 2
− 1 ¨ozde¸sli˘gini kullanırsak,
∫ (^) du 1 + cos u
∫ (^) du 2 cos^2 u 2
ve u 2
= v
d¨on¨u¸s¨um¨u ile
∫ (^) du 2 cos^2
u 2
∫ (^) dv cos^2 v = tan^ v
olur.
B¨oylece, tan v = x + c veya tan x^ +^ y 2
= x + c elde edilir.
Soru 7 : y′^ = tan (x + y) diferensiyel denklemini ¸c¨oz¨un¨uz.
C¸ ¨oz¨um : x + y = u, 1 +
dy dx =^
du dx d¨on¨u¸s¨um¨u ile denklemimiz
olur. Bunları denklemde yerine yazalım.
sin θdr + r cos θdθ cos θdr − r sin θdθ =
r sin θ
(r sin θ)^2 − (r cos θ)^2 − 1
r cos θ
(r sin θ)^2 − (r cos θ)^2 + 1
sadele¸stirmeler yapılırsa
sin θdr + r cos θdθ cos θdr − r sin θdθ =
sin θ
r^2 cos 2θ + 1
cos θ (r^2 cos 2θ − 1)
ve buradan
(sin θdr + r cos θdθ) cos θ
r^2 cos 2θ − 1
= sin θ
r^2 cos 2θ + 1
(cos θdr − r sin θdθ) :
¸carpımından
sin θr^2 cos θ cos 2θdr + r^3 cos θ cos 2θ cos θdθ − cos θ sin θdr − r cos^2 θdθ = r^2 sin θ cos 2θ cos θdr + sin θ cos θdr − r^3 sin θ cos 2θr sin θdθ − r sin^2 θdθ
ve buradan
− sin 2θdr +
r^3 − r
cos 2θdθ = 0
de˘gi¸skenlerine ayrılabilir diferensiyel denklemi elde edilir. O halde,
2 dr r^3 − r = 2
cos 2θ sin 2θ dθ
e¸sitli˘ginin intergarsyonu ile,
ln |c| + ln |sin 2θ| = − 2
∫ (^) dr r
∫ (^) dr r − 1
∫ (^) dr r + 1
’den
ln |c sin 2θ| = ln
∣∣^ r
r^2
veya
c sin 2θ =
r^2 − 1 r^2
bulunur. c 2 r sin θr cos θ = r^2 − 1 denkleminden x = r cos θ, y = r sin θ ve r^2 = x^2 + y^2 oldu˘gundan,
c 2 xy = x^2 + y^2 − 1
genel ¸c¨oz¨um¨u elde edilir.
Soru 9 : y (1 + xy) dx + x (1 − xy) dy = 0 diferensiyel denklemini ¸c¨oz¨un¨uz.
C¸ ¨oz¨um : xy = u , xdy + ydx = du d¨on¨u¸s¨um¨u uygulayalım. Bu durumda, denklem
u x
(1 + u) dx + x (1 − u) xdu^ −^ udx x^2
haline gelir. Bu denklem d¨uzenlenirse,
u (1 + u) dx + (1 − u) (xdu − udx) = 0 u^2 dx + (1 − u) xdu = 0
ayrılabilen diferensiyel denklemi elde edilir. Buradan,
dx x
+^1 −^ u u^2
du = 0 dx x +^
du u^2 −^
du u = 0
integralini alırsak,
ln |x| −
u −^ ln^ |u|^ =^ c ln
x u
∣ =^ c^ +
u x u =^ e
c+ u^1
1 y
= ec+
1 xy
genel ¸c¨oz¨um¨u elde edilir.
ALIS¸TIRMALAR
A¸sa˘gıdaki de˘gi¸skenlerine ayrılabilir diferensiyel denklemleri ¸c¨oz¨un¨uz. a) y′^ = e^2 x−y b) 2x (y + 1) dx − ydy = 0, y (0) = − 2 c) x^2 yy′^ = ey d) dr = a (cos θdr + r sin θdθ) e) ye^2 xdx =
4 + e^2 x
dy f) y ln x ln ydx + dy = 0 g) (1 + ln x) dx + (1 + ln y) dy = 0 h)
e^2 x^ + 4
y′^ = y
Homojen Diferensiyel Denklemler
M (x, y) dx+N (x, y) dy = 0 birinci mertebeden diferensiyel denklemini g¨oz ¨on¨une alalım.
E˘ger bu denklemi
dy dx +^ g
( (^) y x
= 0 formunda yazabilirsek bu denklem homojen bir diferen-
siyel denklemdir. Bu t¨ur denklemleri ¸c¨ozmek i¸cin y x
= u d¨on¨u¸s¨um¨u uygulanarak denklem ayrılabilen diferensiyel denkleme d¨on¨u¸st¨ur¨ul¨ur.
Soru 1 :
2 x sinh
y x + 3y^ cosh^
y x
dx − 3 x cosh
y x dy^ =^0 diferensiyel^ denklemini ¸c¨oz¨un¨uz.
C¸ ¨oz¨um : Denklem birinci dereceden homojen bir diferensiyel denklemdir. Denklemin her
tarafını x b¨olelim ve y = ux, dy = xdu + udx d¨on¨u¸s¨um¨un¨u uygulayalım.Bu durumda denklem,
(2 sinh u + 3u cosh u) dx − 3 cosh u (udx + xdu) = 0 2 sinh udx − 3 x cosh udu = 0
ayrılabilir diferensiyel denklemine d¨on¨u¸s¨ur.
2 x
dx − 3 cosh^ u sinh u
du = 0
denklemini integre ederek, 2 ln x − 3 ln (sinh u) = ln c veya x^2 = c sinh^3 y x
bulunur.
Soru 2 : (x − y ln y + y ln x) dx + x (ln y − ln x) dy = 0
C¸ ¨oz¨um : Denklem d¨uzenlenirse,
x + y ln xy
dx − x ln xy dy = 0
veya
( x y + ln^
x y
dx −
x y ln^
x y dy^ = 0
homojen diferensiyel denklemi elde edilir.
x y =^ u^ ,^ dx^ =^ udy^ +^ ydu^ d¨on¨u¸s¨um¨u uygulanırsa,
(u + ln u) (udy + ydu) − u ln udy = 0 u^2 dy + y (u + ln u) du = 0
ayrılabilir diferensiyel denklemi elde edilir.
dy y +
(u + ln u) u^2 du^ = 0 ∫ (^) (u + ln u) u^2 du^ = ln^ |u|^ +^
∫ (^) ln u u^2 du
son integralde kısmi integrasyon uygulayalım, ln u = w, 1 u^2
du = dv, ve^1 u
du = dw, −^1 u
= v d¨on¨u¸s¨um¨unden
∫ (^) ln u u^2
du = wv −
vdw = − ln^ u u
∫ (^) du u^2
= − ln^ u u
u
oldu˘gundan dyy + (u^ + ln u 2 u)du = 0 ifadesinin integrasyonundan
ln |y| + ln |u| − ln^ u u
u
= c
veya u =
x y i¸cin
x ln |x| − y ln x y
= cx + y
genel ¸c¨oz¨um¨u bulunur.
Soru 3 : y
x^2 + y^2 dx − x
x +
x^2 + y^2
dy = 0 diferensiyel denklemini ¸c¨oz¨un¨uz.
C¸ ¨oz¨um : Her tarafı x^2 ile b¨olelim. Bu durumda denklem
y x
( (^) y x
dx −
( (^) y x
dy = 0
olur. Bu homojen denklemde, y = ux ve dy = xdu + udx d¨on¨u¸s¨um¨uyle
u
1 + u^2 dx −
1 + u^2
(xdu + udx) = 0
denklemi elde edilir. Gerekli d¨uzenlemeler yapılırsa,
( 1 +
1 + u^2
xdu + udx = 0
veya
( 1 u
1 + u^2 u
du + dx x
d) x (x + y)^2 = c (y − 2 x)
e) ln
x c
∣ = cos
( (^) y x
f) cx = earcsin^
y x
g) x^4 + 4xy^3 = c
h) arcsin
x y
= ln
y c
Lineer Diferensiyel denklemler
dy dx
- P (x) y = Q (x) formundaki lineer diferensiyel denklemlerde η = e
∫ (^) P (x)dx inte- grasyon ¸carpanıdır ve genel ¸c¨oz¨um
y = e−^
∫ (^) P (x)dx^ [∫ Q (x) e
∫ (^) P (x)dx dx + c
]
((L))
e¸sitli˘giyle hesaplanabilir.
Soru 1. y′^ = csc x − y cot x diferensiyel denklemini ¸c¨oz¨un¨uz.
C¸ ¨oz¨um : y′^ + y cot x = csc x lineer bir diferensiyel denklemdir. P (x) = cot x ve Q (x) =
csc x ifadeleri (L) denkleminde yerine yazarsak,
y = e−^
∫ (^) cot xdx^ [∫ csc xe
∫ (^) cot xdx dx + c
]
e¸sitli˘ginden
cot xdx =
∫ (^) cos x sin x
dx = ln |sin x| ve csc x = 1 sin x
oldu˘gu g¨oz¨on¨une alnırsa,
y = 1 sin x
[∫
sin x
sin xdx + c
]
sin x
(x + c)
bulunur.
Soru 2 : 2 x
y − x^2
dx + dy = 0 diferensiyel denklemini ¸c¨oz¨un¨uz.
C¸ ¨oz¨um : Denklem d¨uzenlenirse, dy
dx
- 2xy = 2x^3 lineer diferensiyel denklemi elde edilir.
P (x) = 2x ve Q (x) = 2x^3 ifadelerini y = e−^
∫ (^) P (x)dx^ [∫ Q (x) e
∫ (^) P (x)dx dx + c
]
de yerine yazarsak,
y = e−^
∫ (^2) xdx^ [∫ 2 x^3 e
∫ (^2) xdx dx + c
]
= e−x^2
[∫
ex^22 x^3 dx + c
]
bulunur.
∫ ex^22 x^3 dx^ integralini hesaplayalım. Bunun i¸cin^ x^2 =^ s,^2 xdx^ =^ ds^ d¨on¨u¸s¨umyle ex^22 x^3 dx =
essds elde edilir. Kısmi integrasyon uygularsak, s = u, esds = dv den es^ = v ve ds = du e¸sitliklerini yazarsak,
∫ udv = uv −
vdu = ses^ −
esds = ses^ − es
elde edilir. B¨oylece dif. denklemin ¸c¨oz¨um¨u,
y = e−x^2
[
x^2 ex^2 − ex^2 + c
]
Bernoulli Diferensiyel Denklemi
Soru 1:
1 − x^2
y′^ − xy = axy^2 (a ∈ R) diferensiyel denklemini ¸c¨oz¨un¨uz.
C¸ ¨oz¨um : Her tarafı y^2
1 − x^2
ile b¨olersek,
y−^2 dy dx
− x 1 − x^2
y−^1 = ax 1 − x^2
Bernoulli diferensiyel denklemi elde edilir. y−^1 = u, −y−^2
dy dx =^
du dx d¨on¨u¸s¨um¨u ile
du dx −^
ux 1 − x^2 =^
ax 1 − x^2
veya
du dx =^
x (u + a) 1 − x^2
diferensiyel denklemi elde edilir. Bu de˘gi¸skenlerine ayrılabilir bir dif. denklemdir. B¨oylece,
du u + a
dx = 0
denkleminin integrasyonu ile
ln |u + a| − 1 2
ln
1 − x^2
= ln c
veya
√^ u^ +^ a 1 − x^2
= c
olur. y−^1 = u yerine yazılarak dif. denklemin ¸c¨oz¨um¨u y =
c
1 − x^2 − a
olarak bu- lunur.
Soru 2 : sin y dy
dx
= cos y − x cos^2 y diferensiyel denklemini ¸c¨oz¨un¨uz.
C¸ ¨oz¨um : Oncelikle cos¨ y = u , − sin y dy
dx
= du dx
d¨on¨u¸s¨um¨un¨u uygularsak,
−
du dx =^ u^ −^ xu
(^2) veya du dx +^ u^ =^ xu
(^2) bulunur. Bu denklemin her tarafını u (^2) ile b¨olersek,
u−^2
du dx +^ u
− (^1) = x
Bernoulli diferensiyel denklemi elde edilir. O halde u−^1 = v, −u−^2 du dx
= dv dx d¨on¨u¸s¨um¨unden, dv dx
− v = −x lineer diferensiyel denklemi elde edilir. B¨oylece,
v = e−^
∫ (^) (−1)dx^ [∫ (−x) e
∫ (^) (−1)dx dx + c
]
e¸sitli˘ginden
v = ex^
xe−xdx + c
∫ xe−xdx^ kısmi integrasyon ile^ x^ =^ m,^ e−xdx^ =^ dn^ ve^ dx^ =^ dm,^ −e−x^ =^ n^ uygulanırsa mdn = mn −
ndm den
xe−xdx = −xe−x^ + e−x^ bulunur. B¨oylece
v = ex^ (xe−x^ + e−x^ + c)
ve cos y = u, u−^1 = v oldu˘gu g¨oz¨on¨une alınırsa
cos y = (x + 1 + cex)−^1
elde edilir.
Soru 3 : 2 x^2 cot y dy
dx
= 5x − 3 sin y diferensiyel denklemini ¸c¨oz¨un¨uz.
C¸ ¨oz¨um : sin y = u, cos y
dy dx =^
du dx d¨on¨u¸s¨um¨u uygulanırsa,
2 x^2 du dx
= 5xu − 3 u^2
elde edilir. Her tarafı 2x^2 ile b¨olersek
− dudx +^52 xux 2 =^3 u
2 2 x^2
olur. u^2 ile her tarafı b¨olersek
−u−^2 du dx
2 x
u−^1 = 3 2 x^2
Bernoulli diferensiyel denklemi elde edilir. u−^1 = v, −u−^2
du dx =^
dv dx d¨on¨u¸s¨um¨unden,
dv dx
2 x
v = 3 2 x^2
lineer diferensiyel denklemi elde edilir. Buradan,
