Dénombrement TS
Dans un lot de 20 pièces fabriquées, 4 sont mauvaises. De combien
de façon différentes peut-on en prélever 4 dans les cas suivants :
a) les 4 pièces sont bonnes
b) Une au moins d’entre elles est mauvaise.
c) Deux au moins sont mauvaises.
Solution
Les réponses dépendent de l'expérience. D'après l'énoncé il n'y a pas répétition mais
est-ce que l'ordre compte ? Tirages successifs, arrangements, ou tirage simultané,
combinaisons ?
a) Si l'ordre compte il y a
A4
16
façons sinon une
16
4
b) On prend l'évènement contraire, aucune mauvaise ou quatre bonnes donc il y a :
A20
4−A16
4
ou
20
4
−
16
4
c) L'évènement « deux au moins » est égale à l'évènement « un au moins » moins
l'évènement « un exactement » . On choisit une mauvaise parmi 4, 4 choix, puis trois
bonnes parmi 16,
16
3
choix, si l'ordre compte il y a 4! (nombre de permutations)
façon de ranger ces 4 éléments donc :
A20
4−A16
4−4 ×4!
16
3
=A20
4−A16
4−16 A16
3
ou
20
4
−
16
4
−4
16
3
Rappel :
An
p=p!
n
p
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Une classe de 30 élèves, 12 filles et 18 garçons, doit élire un comité
composé d’un président, un vice-président et un secrétaire.
a) Combien de comités peut-on constituer ?
b) Combien de comités peut-on constituer sachant que le poste de
secrétaire doit être occupé par une fille ?
c) Quel est le nombre de comités comprenant l’élève X ?
d) Quel est le nombre de comités pour lesquels le président est un
garçon et le secrétaire une fille ?
e) Quel est le nombre de comités pour lesquels le président et le
vice-président sont de sexes différents ?
Solution
L'ordre compte et il n'y a pas de répétition donc les comités sont des arrangements.
a) Il y a
A30
3
comités possibles.
b) On choisit une fille parmi 12 donc 12 choix pour la secrétaire puis deux élèves
parmi les 29 restants donc :
12 A29
2
c) Il y a 3 postes possibles pour X puis on choisit 2 élèves parmi les 29 restants donc :
3 A29
2
d) Il y a 18 choix pour le président puis 12 pour le secrétaire et il à choisir le vice-
président parmi les 28 restants donc
18 ×12 ×28
e) On choisit un garçon puis une fille donc
18 ×12
cas, puis 2 cas selon que la
fille ou le garçon est président, puis un secrétaire parmi les 28 restants donc :
18 ×12 ×2 ×28
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Une assemblée de 15 hommes et 12 femmes désire élire un comité
de 6 membres, madame A refuse de siéger dans tout comité dont
ferait partie monsieur B.
a) Quel est le nombre de comités qui pourront être constitués dans
ces conditions ?
b) Dénombrer ceux de ces comités dont madame A ferait partie.
Solution
a) On va compter le nombre de comités où A et B siégeraient, A et B étant choisis il
reste à choisir 4 personnes parmi les 25 restantes sans ordre donc :
25
4
Nombre total de comités de 6 personnes parmi 27 :
27
6
Nombre de comités où A et B ne siègent pas en même temps :
27
6
−
25
4
b) A est choisi, il reste à choisir 5 personnes parmi 25 (ni A, ni B) donc :
25
5
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On choisit 5 cartes dans un jeu de 32. Combien y a-t-il de résultats
comprenant : 1) exactement 2 valets ; 2) aucun as ; 3) au moins 3
dames ; 4) 2 trèfles et 3 carreaux ; 5) 2 cartes d’une couleur et trois
de l’autre ; 6) au moins un roi ; 7) 3 piques et 2 roi ?
Solution
1) On choisit 2 valets parmi quatre sans ordre,
4
2
choix, puis 3 cartes parmi les
non valets donc,
28
3
choix. En tout
4
2
28
3
choix.
2) On choisit 5 cartes parmi 28 donc
28
5
choix.
3) Attention à ne pas compter deux fois la même main ( 3 dames puis 2 parmi les 29
restantes est faux). Il faut étudier 2 cas :
4 dames puis 1 parmi 28
3 dames, 4 cas, puis 2 parmi 28
En tout,
28 4
28
2
4) 2 parmi 8 puis 3 parmi 8 donc
8
2
8
3
5) Attention, il faut bien lire la question, ici couleur désigne noir ou rouge et non
pique, cœur, carreau, trèfle. On choisit la couleur des deux cartes donc 2 cas, puis cas
précédent donc :
2
8
2
8
3
6) Evènement contraire, aucun roi,
28
5
donc
32
5
−
28
5
7) Deux cas; avec le roi de pique, 3 choix pour le deuxième roi, puis 2 piques parmi 7
donc
7
2
puis une carte ni pique ni roi donc 21 choix, donc
3 ×21
16
4
sans le roi de pique, 2 rois parmi 3, 3 choix, 3 piques parmi 7
7
3
donc
3
7
3
En tout
3 ×21
16
4
3
7
3
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On tire successivement 4 boules d’un sac contenant 10 boules : 3
vertes et 7 jaunes. Déterminer le nombre de tirages permettant
d’obtenir : a) 4 boules jaunes ; b) 4 boules vertes ; c) 3 jaunes et 1
verte dans cet ordre ; d) 3 jaunes et une verte ; e) 2 jaunes et deux
vertes dans cet ordre ; f) deux jaunes et deux vertes ; g) au moins 3
vertes ; h) au plus 3 jaunes.
On distinguera deux cas suivant que le tirage est effectué avec ou
sans remise.
Solution
On suppose que les boules sont numérotées, avec remise un résultat est une 4-liste de
l'ensemble produit
E4
où E est l'ensemble des dix boules, sans remise un résultat
est un arrangement.
a) 4 jaunes,
74
ou
A7
4
cas
b) 4 vertes,
34
ou 0 cas
c) 3 jaunes en premier puis une verte donc
73 ×3
ou
A7
3×3
d) 2 jaunes puis deux vertes donc
72 ×32
ou
A7
2A3
2
e) On choisit les deux places non ordonnées des deux vertes donc
4
2
cas, puis on
retombe sur le cas précédent donc
72 ×32
4
2
ou
A7
2A3
2
4
2
f) 3 vertes exactement ou 4 vertes exactement.
3 vertes, 4 choix pour la place de la jaune puis
7 ×33
ou
A7
1A3
3
choix donc
4 ×7 ×33
ou
4 ×A7
1A3
3
choix
4 vertes,
34
ou 0 choix.
Donc en tout,
4 ×7 ×33 34
ou
4 ×A7
1A3
3
choix
g) Evènement contraire, 3 jaunes exactement ou 4 jaunes exactement.
Avec le même raisonnement que ci-dessus on obtient
4 ×73 ×3 74
ou
4 ×A7
3A3
1A7
4
choix donc
104 −
4 ×73 ×3 74
ou
A10
4−
4 ×A7
3A3
1A7
4
choix.
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On garde tous les cœurs et tous les trèfles d’un jeu de 32 cartes.
Combien y a-t-il de permutations de ces 16 cartes dans lesquelles
deux cartes consécutives quelconques sont de couleurs différentes.
Solution
D'après l'énoncé les couleurs sont alternées, cœur trèfle cœur trèfle ... ou trèfle cœur
trèfle ... Donc deux cas.
Pour les cœurs il y a 8! cas (nombre de permutations de 8 éléments) et idem pour les
trèfles donc
2 ×
P8
2 =2 ×
8!
2
permutations.
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Exercices proposés en partie corrigés par Sébastien Muller. http://membres.lycos.fr/mullerseb/ 1 sur 2
