Download Cơ sở lý thuyết PP Euler and more Exercises Mathematics in PDF only on Docsity!
CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT
I. Phương pháp Euler
1. Nội dung
1 .1. Nguồn gốc
Trong toán học và khoa học máy tính, phương pháp Euler là một phương pháp
số bậc một để giải các phương trình vi phân thường (ODEs) với giá trị ban đầu cho
trước. Nó là phương pháp hiện (Explicit) cơ bản nhất cho việc tính tích phân số của
các phương trình vi phân thường và là phương pháp Runge-Kutta đơn giản nhất.
Phương pháp Euler được đặt theo tên của Leonhard Euler, người đã đề cập đến
phương pháp này trong cuốn sách Institutionum calculi integralis của ông (xuất bản
1 .2. Định nghĩa
“Phương pháp Euler” là một phương pháp bậc một, có nghĩa là sai số cục bộ
(sai số mỗi bước) tỷ lệ thuận với bình phương của kích thước bước, và sai số tổng thể
(sai số tại một thời điểm nào đó) tỷ lệ thuận với kích thước bước. Phương pháp Euler
thường phục vụ như là cơ sở để xây dựng các phương pháp phức tạp hơn, ví dụ như,
phương pháp Dự đoán - Hiệu chỉnh.
1.3. Công thức Euler cho phương trình vi phân cấp 1
Trong phần này chúng ta sẽ xét một số phương pháp tìm nghiệm gần đúng của một dạng bài
toán của phương trình vi phân thường có nhiều ứng dụng trong thực tế. Đó là bài toán Cauchy
hay còn gọi là bài toán với điều kiện ban đầu
Phương trình vi phân cấp 1 có dạng:
{
y
'
( t )= f ( t , y ( t ))
y
t
0
= y
0
, t ≥ t
0
với y = y ( t )
là hàm cần tìm, khả vi với t ≥ t
0
, y
0
là giá trị ban đầu cho trước của hàm tại điểm
t = t
0
và f ( t , y )
là hàm hai biến liên tục cùng với các đạo hàm riêng của nó. Chúng ta chỉ quan tâm
đến các phương pháp giải số cho bài toán (1.1) với giả thiết rằng chúng ta có đủ tất cả các điều
kiện để đảm bảo sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của bài toán. Trước tiên ta đưa ra các công
thức tìm nghiệm gần đúng của hàm tại điểm t
1
= t
0
đủ bé. Ta thường ký hiệu
y ( t
1
) là giá trị chính xác của hàm tại t
1
, y
1
là giá trị gần đúng: y
1
≈ y ( t
1
). Sau đó nếu xét bài toán
trên một đoạn, ta chia đều đoạn đó với bước h đủ nhỏ và áp dụng liên tiếp các công thức vừa tìm
được.
Ta dựa vào ý nghĩa hình học để đưa ra công thức tìm
y
1
đơn giản nhất. Tại điểm
( t
0
, y
0
của
đường cong y = y
t
ta kẻ tiếp tuyến có phương trình:
y − y
0
= y ' ( t
0
)( t − t
0
Do
y
'
t
0
= f
(
t
0
, y
t
0
)
= f ( t
0
, y
0
đã biết, nên từ phương trình trên ta có:
y = y
0
0
, y
0
)( t − t
0
Thay
t = t
1
trong biểu thức trên ta thu được công thức (1.2) và được xem là giá trị gần đúng của
y
t
1
Từ đây ta có công thức Euler
{
y ( t
0
)= y
0
y
t
1
≈ y
1
= y
0
t
0
, y
0
Chia độ dài [
t
0
, t ¿ thành n đoạn có độ dài h =
t − t
0
n
với
n = t
0
, t
1
, … , t
n
1.4. Công thức Euler cải tiến
Trong công thức (1.2) vai trò của
f
t
0
, y
0
)chính là hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong tại
điểm
( t
0
, y
0
và hoàn toàn không có thông tin gì về đường cong tại điểm
( t
1
, y ( t
1
. Vì lý do đó,
người ta thay vai trò của
f ( t
0
, y
0
bởi trung bình cộng của các hệ số góc của hai tiếp tuyến tại hai
điểm
( t
0
, y
0
và
( t
1
, y ( t
1
. Khi đó ta có công thức:
y
1
= y
0
f
t
0
, y
0
1
, y
t
1
≈ y
0
f
t
0
, y
0
1
, y
1
Cả vế phải lẫn vế trái của công thức trên đều có chứa
y
1
nên ta phải giải phương trình để tìm
nó. Vì vậy, để đơn giản người ta thay giá trị
y
1
ở vế phải bởi giá trị được xác định theo công thức
(1.2). Ta thu được:
y
t
1
≈ y
1
= y
0
f
t
0
, y
0
1
, y
0
x
0
, y
0
Hoặc (1.3)
K
1 x
= hf
t
k − 1
, x
k − 1
, y
k − 1
, K
1 y
= hg ( t
k − 1
, x
k − 1
, y
k − 1
K
2 x
= hf ( t
k − 1
k − 1
+ K
1 x
, y
k − 1
+ K
1 y
K
2 y
= hg ( t
k − 1
k − 1
+ K
1 x
, y
k − 1
+ K
1 y
x
t
k
≈ x
k
= x
k − 1
K
1 x
+ K
2 x
y
t
k
≈ y
k
= y
k − 1
K
1 y
2 y
∀ k = 1 , 2 , … , n ;
Vậy với phương pháp Euler và Euler cải tiến ta tìm được nghiệm gần đúng của bài toán
phương trình vi phân cũng như là hệ phương trình vi phân
1.6. Ý nghĩa hình học của phương pháp Euler
Hình 1 Ý nghĩa hì nh học của phương pháp Euler
Từ
( t
0
, y
0
)=( α , α ) thuộc đường cong y = y ( t ) , kẻ tiếp tuyến với đường cong có hệ số góc là
y
'
a
= f
a , c
Đường tiếp tuyến sẽ cắt
t = t
1
tại y
1
chính là giá trị gần đúng của
y ( t
1
Tại
( t
1
, y
1
ta kẻ đường thẳng với hệ số góc
f
t
1
, y
1
cắt t = t
2
tại y
2
là giá trị gần đúng của
y
t
2
