Download Cơ sở lý thuyết phân tích SVD and more Cheat Sheet Physics in PDF only on Docsity!
I.Cơ sở lý thuyết phân tích SVD:
I.1.1 Trị riêng và vectơ riêng của ma trận
-Định nghĩa: Cho AM n
(K). Số λ 0
K được gọi là giá trị riêng của ma trận A, nếu tồn
tại vectơ giá trị X 0
≠0 sao cho
AX
X
được gọi là vectơ riêng (Eigenvector) của ma trận A tương ứng với giá
trị riêng X 0
Tính chất 1.
-Mỗi vectơ riêng có một giá trị riêng duy nhất. Giả sử ma trận vương A có vectơ
riêng x ứng với hai giá trị riêng λ 1
, λ 2
thì
Ax= λ
x= λ
x ⟺ ( λ
)x=0 ⟺ λ
Tính chất 2.
-Nếu x là vectơ riêng ứng với giá trị riêng λ của ma trận vuông A thì kx cũng là
vectơ riêng với λ: Ax = λx ⟺ A(kx) = λ(kx)
Tính chất 3
-Nếu λ là trị riêng của ma trận vuông A thì λ
n
là trị riêng của ma trận A
n
Tính chất 4
-Giá trị riêng của ma trận vuông A là nghiệm của phương trình:
( A-λI ) = 0.
-Giả sử λ là giá trị riêng của ma trận A, khi đã tồn tại x ≠ 0 mà
Ax = λx ⟺ ( A- λI )x = 0.
Đây là một hệ phương trình tuyến tính, hệ này có nghiệm x ≠ 0 khi và chỉ khi:
det ( A- λI ) = 0.
Tính chất 5
Ma trận vuông A có giá trị riêng λ thì họ vectơ riêng ứng với λ là nghiệm của
( A- λI )x = 0
→Trị riêng và vector riêng đóng vai trò quan trọng trong việc phân tích ma trận,
đặc biệt trong các bài toán như phân rã ma trận và tối ưu hóa.
I.1.2.Các bước tìm trị riêng và vectơ riêng của ma trận:
Bước1: Tìm giá trị riêng
+Tất cả các nghiệm của phương trình là tất cả các trị riêng của A
Bước 2: Tìm vectơ riêng
- Tương ứng với trị riêng λ1. Giải hệ phương trình
( A- λ1I )x = 0
- Tất cả các nghiệm khác 0 của hệ là tất cả các vectơ riêng của A ứng với trị
riêng λ1.
- Tương tự tìm vectơ riêng của A ứng với các trị riêng còn lại.
A.A
-
= A.A
T
⟺ A.A
T
= I.
Như vậy nếu tích của A và A
T
là ma trận đơn vị I , thì A là ma trận trực
giao.
Mệnh đề 1: Ma trận A là ma trận trực giao khi và chỉ khi họ vectơ cột
(hoặc họ vectơ hàng) của A là họ trực chuẩn.
Định nghĩa 3: Ma trận vuông, thực A gọi là chéo hoá trực giao được,
nếu:
A = PDp
-
= PDP
T
với D là ma trận chéo và P là ma trận trực giao.
Định lí 1. Cho A là ma trận đối xứng thực:
Các khẳng định sau đây là đúng :
Trị riêng của A là các số thực
A luông chéo hoá trực giao được
Hai vectơ riêng ứng với các giá trị riêng khác nhau vuông góc với
nhau.
Mệnh đề 2: Nếu ma trận A chéo hoá trực giao được, thì A là ma trrận đối
xướng.
I.2.2 Chéo hoá trực giao ma trận đối xứng A
Bước 1: Tìm trị riêng của A
Bước 2 : Tìm một cơ sở của trực chuẩn của từng không gian con riêng
Để tìm cơ sở trực chuẩn của không gian con riêng E λk
, ta theo các bước
sau:
a) Chọn cơ sở E k
tuỳ ý của E λk
b) Dùng quá trình Gram-Schmidt (nếu cần) để tìm cơ sở trực giao F k
c) Chia mỗi vectơ trong F k
cho độ dài của nó ta có cơ sở trực chuẩn Q k
của E λk
Bước 3: Kết luận
Nguồn tham khảo
Vik.wiki (sách Meyer C.D, Matrix analysis and Applied linear algebra,
SIAM,2000):
https://vik.wiki/images/2/21/FmLinalg_jegyzet_2000_Meyer.pdf
Chat gpt: https://chatgpt.com/
Gemini: https://gemini.google.com/app
Studocu: https://www.studocu.com/vn/home
