Download another cheatsheet for calculus and more Summaries Calculus in PDF only on Docsity!
Kuis 3 Kalkulus 2 (7 Maret 2025)
Materi: Operasi pada Deret Pangkat, Deret Taylor & MacLaurin, Irisan Kerucut
Kode Soal: A
- Untuk setiap fungsi di bawah ini, tentukan deret pangkat yang dapat merepresentasikan
fungsi-fungsi tersebut dan juga interval konvergensinya. Anda dapat menggunakan deret
MacLaurin dari fungsi-fungsi populer bila diperlukan. Daftarkan deret pangkat sampai suku
ke- 5.
a. (21 poin)
Jawaban: Tuliskan fungsi sebagai hasil operasi aljabar berikut.
2
2
2
Gunakan rumus deret binomial:
โ 2
2
3
4
2
3
4
2
3
4
Substitusi x dengan 3x
โ 2
2
3
4
2
3
4
Kalikan dengan x
2
2
3
4
5
Atau kalikan dengan 3
2
2
3
4
Lakukan operasi pengurangan
2
2
2
3
4
5
2
3
4
2
3
4
Analisis interval konvergensi
Deret pangkat dari ( 1 + ๐ฅ)
โ 2
mempunyai interval konvergensi
< 1 yang berarti interval
konvergensi untuk ( 1 + 3 ๐ฅ)
โ 2
adalah
< 1. Interval konvergensi untuk deret pangkat
untuk
3
( 1 + 3 ๐ฅ)
2
dan
๐ฅ
( 1 + 3 ๐ฅ)
2
juga | 3 ๐ฅ| < 1 sehingga secara keseluruhan walaupun ada operasi
pengurangan, deret pangkat tsb berlaku untuk
1
3
1
3
2
2
๐
๐
๐+ 1
โ
๐= 0
๐
๐
๐
โ
๐= 0
b. (21 poin)
Jawaban: Tentukan terlebih dahulu deret pangkat representasi fungsi ln, yaitu:
ln
2
3
4
5
Substitusikan x dengan โ 2 ๐ฅ
3
ln( 1 โ 2 ๐ฅ
3
3
3
2
3
3
3
4
3
5
3
6
9
12
15
Maka
ln
3
2
5
8
11
14
Analisis interval konvergensi
Karena deret pangkat representasi dari ln( 1 + ๐ฅ) konvergen pada |๐ฅ| < 1 , maka interval
konvergensi untuk
ln( 1 โ 2 ๐ฅ
3
)
๐ฅ
berada pada interval
3
3
3
1
2
3
1
2
1
โ 2
3
1
โ 2
3
- (21 poin) Diketahui sebuah irisan kerucut direpresentasikan oleh persamaan 4 ๐ฅ
2
2
= 32. Tentukan:
a. Jenis irisan kerucut
b. Eksentrisitas (eccentricity), garis direktriks (directrix), dan titik fokus dari irisan kerucut
tersebut. Jika terdapat lebih dari satu titik focus atau garis direktriks, daftarkan semua.
c. Semua titik perpotongan irisan kerucut tersebut dengan garis ๐ฆ +
1
2
Jawaban:
Bagian a
2
2
2
2
Merupakan elips dengan ๐ = โ
8 dan ๐ = โ
2 (elips horizontal)
Bagian b
Jika ๐ = โ
8 dan ๐ = โ
2 , maka ๐ = โ๐
2
2
๐
๐
โ 6
โ 8
โ 3
โ 4
3
4
Garis direktriks berada pada ๐ฅ = ยฑ
๐
๐
โ 8
โ 3 / 4
4 โ 2
โ 3
4
3
Titik fokus berada pada (ยฑ๐, 0 ) = (
- (15 poin) Diketahui sebuah irisan kerucut mempunyai satu titik fokus di (โ 5 , 0 ) dan garis
direktriks ๐ฅ = 5. Tentukan:
a. Persamaan yang merepresentasikan irisan kerucut tersebut beserta jenis dari irisan
kerucut.
b. Persamaan garis yang menyinggung conic section di titik
Jawaban
Bagian a
Irisan kerucut yang hanya mempunyai 1 titik fokus adalah parabola. Bila titik fokus di
dan garis direktriks di ๐ฅ = 5 , maka ๐ = 5 dan merupakan parabola horizontal yang terbuka
ke kiri dengan persamaan ๐ฅ = โ 4 ( 5 )๐ฆ
2
2
Bagian b โ anulir (kesalahan soal)
BONUS (5 poin): Soal akan dinilai bila semua pertanyaan wajib sudah dijawab.
Sebuah irisan kerucut mempunyai persamaan: 9 ๐ฅ
2
2
a. Jelaskan jenis irisan kerucut yang direpresentasikan, yaitu dengan menuliskan
persamaan dalam bentuk standar sebuah irisan kerucut dan tentukan titik pusatnya.
b. Tentukan titik fokus dari irisan kerucut tersebut. Bila ada lebih dari satu, daftarkan semua.
Jawaban
Bagian a
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Berdasarkan hasil di atas, merupakan elips vertikal dengan pusat di (-4, 2)
Bagian b
Titik fokus berada pada ( 0 , ยฑ๐), cari nilai c terlebih dahulu, i.e. ๐ = โ
5 sehingga
titik focus ada di ( 0 , โ 5 ) dan ( 0 , โโ 5 )
