Download aerospace engineering and more Summaries Aerospace Engineering in PDF only on Docsity!
10. ÜNİTE
HACİM ÖLÇÜLERİ VE HESAPLANMASI
KONULAR
1. HACİM VE HACİM öLÇÜLERİ KAVRAMI
2. HACİM öLÇÜLERİ BİRİMLERİ
3. SIVI öLÇÜSÜ BİRİMLERİ
4. pRİZMALAR
5. pRİZMALARIN öZELİKLERİ VE TÜRLERİ
6. DİKDöRTGENLER pRİZMASININ ALANI VE HACMİ
7. KARE pRİZMANIN ALANI VE HACMİ
8. KÜpÜN ALAN VE HACMİ
9. pİRAMİTLER
10. pİRAMİTLERİN ALAN, HACİMLERİ
11. SİLİNDİR
12. DAİRESEL SİLİNDİRİN ALAN VE HACMİ
13. KONİLER
14. DAİRESEL KONİNİN ALAN VE HACİMİ
15. KÜRE
16. KÜRENİN ALANI VE HACMİ
17. öZET
18. DEĞERLENDİRME SORULARI
TEMEL MATEMATİK VE FİZİK
10. 1 HACİM VE HACİM ÖLÇÜLERİ KAVRAMI
HACİM ölçüleri de uzunluk ölçüleri gibi metre sistemine güre düzenlenmiştir. Hacim ölçüsü birimi metre küp dür. şeklinde gösterilir. Kenar uzunluğu 1 metre olan küpün hacmi 1 dür. Hacim ölçüleri için uzunluk ölçülerinde olduğu gibi kul lanılan ölçüler yoktur. Hacimleri bulunacak cisimlerin boyutları uzunluk ölçüleri ile ölçülür ve yapılan hesaplamadan sonra hacim bulunur.
10.1.1 Hacim Ölçüleri Birimleri
Metre küp’ün katları biner biner büyür ve askatları biner biner küçülür.
Metre küpün Katları
Dekametre küp (da ) : Metre küpün 1 000 katıdır.
Hektometre küp (h ) :Metre küpün 1 000 000 katıdır.
Kilometre küp (k ) : Metre küpün 1 000 000 000 katıdır.
Metre küpün Askatları
Desimetre küp (d ) :Metre küpün katıdır.
Santimetre küp (c ) :Metre küpün katıdır
Milimetre küp (m ) : Metre küpün katıdır.
TEMEL MATEMATİK VE FİZİK
prizmalar tabanlarına göre; dikdörtgenler prizması, kare prizma, üçgen priz- ma diye isimlendirilirler.
10.3.1.1 Dikdörtgenler Prizmasının Alanı Ve Hacmi
ABCD // EFGH
EHAD // FBCG
EFAB // HDCG
Özelikleri
- 6 yüzü, 12 ayrıtı ve 8 köşesi vardır
- Karşılıklı ayrıtları dörder dörder paralel ve uzunlukları eşittir
- Karşılıklı yüzleri birbirine paralel ve alanları eşittir.
- Bir köşeden çıkan ayrıtlara, prizmanın boyutları denir. Bu boyutlar; en, boy,
yüksekliktir. (a,b,c)
Taban Alanı = a.b
Yan Alanları = 2 (ac + bc) = 2c ( a + b )
Bütün Alanı = 2 ab + 2( ac + bc ) = 2 ( ab + ac + bc )
Dikdörtgenler prizmasının alanı, bir köşeden çıkan üç ayrıtının ikişer ikişer çar- pımları toplamının 2 katına eşittir.
Hacmi = Taban Alanı x Yükseklik V = a. b. c
Dikdörtgenler prizmasının hacmi, bir köşeden çıkan Uç ayrıtının uzunlukları çarpımına eşittir.
ÖRNEK 1:
Ayrıtları 4 cm, 5 cm ve 10 cm olan dikdörtgenler prizmasının tüm alanını ve hacmini bulunuz?
TEMEL MATEMATİK VE FİZİK
ÇÖZÜM:
a = 4 cm Bütün Alanı = 2.( ab + ac + bc ) Hacmi = a. b. c
b = 5 cm = 2.( 4.5 + 4.10 + 5.10 ) = 4. 5. 10
c = 10cm = ( 40 + 80 + 100 ) = 200cm 3
= 220cm
10.3.1.2 Kare Prizmanın Alanı Ve Hacmi
Tabanı kare, yan yüzeyleri dikdörtgen olan prizmalardır. Dikdörtgenler prizmasının bütün özelliklerini taşır.
Taban Alanı = a 2 (Tabanı kare olduğu için)
Yan Alanları= 4.a.h
Kare dik prizmanın yanal alanı, taban çevresinin uzunluğu ile yüksekliğinin çarpımına eşittir.
Bütün Alanı= 2a 2 + 4(a.h)
Kare dik prizmanın alanı, bir yan yüzünün alanının 4 katı ile iki taban alanının toplamına eşittir.
Hacmi = Taban Alanı x Yükseklik = a 2 .h
ABCD // EFGH
ÖRNEK 2:
Taban ayrıtı 10cm ve yüksekliği 14cm olan kare dik prizmanın taban alanı, bütün alanını ve hacmini bulunuz?
Taban Alanı = a 2 Bütün Alanı = 2 a 2 + 4.(a.h) Hacmi = a 2. h
A = 10 2 = 100cm 2 dir. = 2.( 10 2 + 4.10 .14 ) = 10 2.
= 200 + 560 = 100.
= 760cm 2 dir. = 1400cm 3 dür.
TEMEL MATEMATİK VE FİZİK
Düzgün piramidin özellikleri
Yan ayrıtları eşit uzunluktadır.
Yan yüzeyleri , eş ikizkenar bölgelerdir.
Yan yüzeylerinin yüksekliklerinin uzunlukları eşittir.
10.4.1.1 Kare Dik Piramidin Alanı Ve Hacmi
Taban Alanı = a 2 (Tabanı kare olduğu için )
Yanal Alanı= 2.a.h(h cismin yüksekliği )
Bütün Alanı= a 2 + 2a.y
Hacmi =
V=
y = yan yükseklik
ÖRNEK 3:
Taban uzunluğu 6cm ve yan yüz yüksekliği 9cm olan kare dik piramidin; taban alanı, bütün alanını ve hacmini bulunuz?
Taban Alanı = a 2 Bütün Alanı = a 2 +2.a.h Hacmi =
A = 6 2 = 6 2 + 2.6.9 V=
A= 36cm 2 dir = 36+108 = 144cm 2 V=
V = 60cm 3
TEMEL MATEMATİK VE FİZİK
10.5 SİLİNDİR
10.5.1 Dairesel Silindirin Alan Ve Hacmi
Bir dikdörtgensel bölgenin kenarlarından biri etrafında 360° döndürülmesiyle oluşan cisme, dik silindir denir.
Taban Alanıπ.r =^2
Yanal Alanı = 2.π.r.h
Bütün Alanı = π.r^2 + 2.π.r.h
Hacmi = Taban alanı x Yükseklik
V= π.r^2 .h
ÖRNEK 4:
Taban yarıçapı 7cm ve yüksekliği 10cm olan silindirin; taban alanını ve hacmi- ni bulunuz?
Taban Alanı = π.r 2 Bütün Alanı = π.r^2 + 2.π.r.h Hacmi = π.r^2 .h
A = .7^2 = 2.π.r(r+h) V= .7^2.
A= 154cm^2 dir = 2. .7(7+10) V = 1540cm^3
= 748cm^2
10.6 KONİLER
10.6.1 Dairesel Koninin Alan Ve Hacimi Bir dik üçgensel bölgenin dik kenarlarından birinin etrafında 360 döndürülmesi ile oluşan şekle koni denir.
TEMEL MATEMATİK VE FİZİK
( O,r ) çemberine, kürenin en büyük çemberi denir.
( O,r ) dairesine de kürenin en büyük dairesi adı verilir.
Kürenin Alanı: Yarıçapının uzunluğu r olan kürenin alanı, en büyük dairesinin alanının 4 katına eşittir.
A = 4. π. r^2
Kürenin Hacmi : Yarıçap uzunluğu r olan bir kürenin hacmi,
V=
ÖRNEK 6:
Yarıçap uzunluğu 6cm olan bir kürenin alanını ve hacmini bulunuz?
ÇÖZÜM:
A = 4. π. r^2 V=. π. r^3
A = 4. 3,14. 6^2 V=. 3,14. 6^3
A = 452,16 cm^2 V= 904.32 cm^3
TEMEL MATEMATİK VE FİZİK
ÖZET
Tabanları herhangi bir çokgensel bölge olan yan yüzleri dikdörtgensel bölge- lerden meydana gelen cisimlere dik prizma denir.
prizmalar tabanlarına göre; dikdörtgenler prizması, kare prizma, üçgen priz- ma diye isimlendirilirler.
Dik Prizmaların Özelikleri:
- Tabanları eş ve paraleldir
- Yan yüzleri dikdörtgensel bölgelerdir.
- Her bir köşede kesişen ayrıtları birbirine diktir.
- Yan ayrıtları aynı zamanda yüksekliktir.
Dikdörtgenler Prizmasının Alanı ve Hacmi
Bütün Alanı = 2 ab +2( ac + bc) veya 2 ( ab + ac + bc)
Hacmi = Taban Alanı x Yükseklik V = a. b. c
Kare prizmasının alanı ve hacmi:
Bütün Alanı = 2 + 4 (a.h)
Hacmi = Taban Alanı x Yükseklik V =. h
Küpün Alanı ve Hacmi:
Bütün Alanı = 6
Hacmi = Taban Alanı x Yükseklik V =
Kare dik piramidin alanı ve hacmi:
Bütün Alanı = + 2.a.y
Hacmi; Taban alanı ile cisim yüksekliğinin çarpımının üçte birine eşittir.
TEMEL MATEMATİK VE FİZİK
DEĞERLENDİRME SORULARI
1) Yanda verilen dik üçgen dik prizma biçimindeki su deposunun hacmi kaç tür?
A) 500 B) 450 C) 420 D) 400 E) 350
2) Taban alanı 25 c ve hacmi 100 olan kare dik
piramidin yüksekliği kaç cm dir?
A)3 B)6 C)18 D)15 E) 12
- Üstten görünümü şekildeki gibi olan dikdörtgen dik piramidin hacminin 150 c olması için piramidin yüksekliğinin kaç cm olması gerekir?
A)3 B)5 C)7 D)9 D) 12
4) Çapı 6 cm olan bir kürenin hacmi kaç c tür? (π= 3 alınız.)
A) 108 B) 216 C) 432 D) 864 D) 400
- Yanda verilen yarım küre biçimindeki buz kabına bir ayrıtı 3 cm olan küp şeklindeki buzlardan 35 adet konuluyor. Buzlar eridiğinde kabın durumu aşağıdakilerden hangisindeki gibi olur?
A) Yarısı dolar. B) ü dolar C) Tamamı dolar.
D) Taşar. E) ü dolar
TEMEL MATEMATİK VE FİZİK
Yukarıdaki dikdörtgenler prizmasının yarısı su ile doludur. prizmanın içine yukarıdaki demir misket atıldığında prizma dolmaktadır.
Misketin yarıçapı kaç cm dir? (π= 3 alınız.)
A)1 B)2 C)4 D)8 E) 10
- Yandaki kare dik prizmanın bir taban ayrıtı 6 cm dir. Bu prizmanın içine yüzeylerine teğet iki küre sığabildiğine göre, prizmanın yüksekliği en az kaç cm dir?
A)9 B)12 C) 18 D) 24 E) 30
- şekilde verilen silindir şeklindeki bardağın yarıçapı 3 cm ve yüksekliği 7cm dir. Buna göre bardak en fazla kaç c su alabilir? (π =3alınız.)
A)21 B)63 C) 147 D) 189 E) 210
